Линейная алгебра

26 Алгебра и геометрия <1 Д о с т а т о ч н о д о к а з а т ь р а в е н с т в о d • VA2 + В2 + С2 = \ АХ! + By! + C z i + D\. (*) П у с т ь Мо(жо; уо',ZQ) - п р о е к ц и я т о ч к и М \ н а п л о с к о с т ь а. Т а к к а к Mo G а , т о А ж0 + -Bt/o + Cz0 + £> = 0 и - А ж0 - Ву0 - Cz0 = D. П у с т ь п = (А; В; С) и п\ = MQM\ = (х\ — жо; у\—уо\ Z\—ZQ). Т о г д а d = \щ\ и в е к т о р ы пжп-у к о л л и н е а р н ы , п о с к о л ь к у о н и п е р п е н д и к у л я р н ы о д н о й п л о с к о с т и а. П о э т о м у d • \JА2 + В2 + С2 = \щ \ • \п\ = | ( n i , n ) | = = \(n,ni) \ = \ А(х1 - ж0) + 5 ( г / i - г/о) + C(zi - z0) \ = = \ Ах! + Byi + Czi - AxQ - By0 - Cz0 \ = \ Axx + Byx + Czx + D\. > 6. Прямые 6.1. Н а п р а в л я ю щ и е в е к т о р ы п р я м ы х . П у с т ь £ - п р я м а я . Л ю б о й н е н у л е в о й в е к т о р , к о л л и н е а р н ы й £ , н а з ы в а е т с я направляющим в е к ­т о р о м п р я м о й С Е с л и и з в е с т н ы д в е р а з н ы е т о ч к и Мо(жо; уо\ZQ) И М (Ж1; г/i; z i ) н а £ , т о M Q M\ = (х± — жо; j / i — г/о; z\ — ZQ) - н а п р а в л я ю ­щ и й в е к т о р д л я £ . П р я м а я £ о д н о з н а ч н о з а д а е т с я с в о е й т о ч к о й Мо(жо; г/о; ZQ) И н а п р а в л я ю щ и м в е к т о р о м £ = (р; д; г). 6.2. П р я м а я £ с н а п р а в л я ю щ и м в е к т о р о м £ = (p;q;r), п р о х о д я щ а я ч е р е з т о ч к у Мо(жо; уо\ZQ), £ з а д а е т с я у р а в н е н и я м и х — Жо У -Уо Z ZQ t е p-t q-t г • t (*) < П у с т ь М ( ж ; у; z) - л ю б а я т о ч к а п р о с т р а н с т в а . Т о г д а М л е ж и т н а п р я м о й £ в т о ч н о с т и т о г д а , к о г д а в е к т о р ы MQM И £ к о л л и н е а р н ы , т.е. М0М = t •£ (t е R). Т а к к а к М0М = (ж - ж0; у - у0; z - z0), т о М л е ж и т в £ в т о ч н о с т и т о г д а , к о г д а х — XQ = р • t, у — уо = q • f, Z — Zo = Г • t. О 6.3. К а н о н и ч е с к и е и п а р а м е ...