Математический анализ

Теоремы Л а г р а н ж а , Коши и Лопиталя 21 2.2.3 с л е д у е т и з 2.2.2, 2.1.2 и 2 . 2 . 1 . 2 . 2 . 4 . П р а в и л о Л о п и т а л я . П у с т ь в н е к о т о р о й п р о к о л о т о й 5 - о к р е с т н о с т и т о ч к и а ф у н к ц и я f(x) и м е е т п р о и з в о д н у ю f'(x), ф у н к ц и я д(х) и м е е т н е н у л е в у ю п р о и з в о д н у ю д'(х). f'(x) lixri f(x) = Н ш д(х) = 0 и с у щ е с т в у е т п р е д е л Н ш ———-. Т о г д а ж—fti ж—fti ж—fti д'ух) у /'>•' , /''>• п р е д е л п ш —-— с у щ е с т в у е т и р а в е н п ш ———. х^а д(х) х^а д>(х) <1 П о л о ж и м / ( « ) = 0 и д(а) = 0 ( е с л и / ( « ) и л и д(а) р а н е е и м е л и д р у г и е з н а ч е н и я , т о п р и д а д и м и м н о в ы е , н у л е в ы е з н а ч е н и я - э т о , / • > . ' н е п о в л и я е т н а п р е д е л п ш , п о с к о л ь к у п р и е г о в ы ч и с л е н и и у ( ж ) ж ^ а ) . Т а к к а к Н ш f(x) = Н ш д(х) = 0, т о т е п е р ь ф у н к ц и и f(x) и </(х) с т а л и н е п р е р ы в н ы м и в т о ч к е а. Р а с с м о т р и м т о ч к у Ъ G S(a). Н а о т р е з к е , с о е д и н я ю щ е м т о ч к и а и Ь, к ф у н к ц и я м / ( ж ) и </(х) м о ж н о п р и м е н и т ь 2 . 2 . 3 ( 2 ) . П о э т о м у у т в е р ж д е н и ю н а и н т е р в а л е м е ж д у т о ч к а м и а и Ъ с у щ е с т в у е т х о т я б ы о д н а т а к а я т о ч к а с. ч т о / ' ( с ) f(b) - /(«) № -~гт = -7ТТ г т = - 7 J T ( п о с к о л ь к у / u ) = 0 и ) = 0 . * <J V-) д{о)-д{а) д(Ъ) P / ^ г f'W у f'W тт Ь с л и о —¥ а, то с —¥ а. П о э т о м у ш п ——— = ш п ———. П о э т о м у д'(х) ^ д'(с) и з ( * ) с л е д у е т , ч т о с у щ е с т в у е т H m M = 1ш1 Щ. м П о д с т а в л я я в ( * * ) х, в м е с т о Ь, п о л у ч а е м , ч т о с у щ е с т в у е т Н ш I = Н ш ^ \ I . [> х^а д(х) х^а д>(х) 2 . 2 . 5 . П р а в и л о Л о п и т а л я п р и х —> +оо и х —\ —оо.*' 1 ) П у с т ь Н...