Математический анализ

30 Интегрирование непрерывна на отрезке [а. Ц. то существует хотя бы одна такая ь точка с G [а. Ц. что J f(x) dx = /(с) (b — а). а < Так как f(x) непрерывна на [а. Ц. то по 5.3 f(x) интегрируема на [а. Ц. По 12.1.1 из Приложения 1 существуют такие числа х1 -х2 G [а.Ц. что f{xi) < f(x) < /(ж2) для всех х G [а.Ц. По 5.9(6) существует такое число Li. что D J f(x)dx = fj,(b-a) (m<fj,<M). (*) Поскольку число Li лежит между двумя значениями непрерывной на [а. Ц функции f(x). то по 12.1.3 из Приложения 1 существует такая точка с G [а. Ц. что /(с) = Li. Подставляя в (*) /U = /(с), получаем требуемое соотношение. > 6.2. Определенный интеграл — функция верхнего и ь нижнего пределов. Из определения J f(x) dx следует, что а Ь J f(x) dx постоянная величина, не зависящая от того, какой а буквой обозначена переменная интегрирования. Поэтому если переменную X под знаком определенного интеграла обозначить другой буквой (например, t). то интеграл не изменится, т.е. ь ' ь j f(x) dx = j f(t) dt. Если функция f(t) интегрируема на [а. Ц а а H KG [а.Ц. то f(t) интегрируема на [а.х] и интеграл X j f(t) dt изменяется при изменении х. т.е. является функцией а х верхнего предела х. Обозначим Ф(ж) = j f(t) dt. Аналогично. а определенный интеграл является функцией своего нижнего предела. 6.3. Производная определенного интеграла по верхнему пределу. Если функция f(x) непрерывна на [а.Ц. то функция