Интегральное исчисление. Определённый интеграл

8 Итак, по определению lim→∆ Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пре-делами интеграла;x называется переменной интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением.Так как определенный интеграл определен нами при условии, что справедливо , то дополним его определение следующими согла-шениями: будем считать, что если , то 0; если , то ‒ Риман, начало 1850 го-дов Риман, 1863 Георг Фридрих Бернхард (17.9.1826– 20.7.1866), немецкий математик. В 1846 поступил в Гёттингенский университет: слушал лекции К. Гаусса, многие идеи которого были им развиты позже. В 1847 – 49 слушал лекции К. Якоба по механике и П. Дирихле по теории чисел в Бер-линском университете; в 1849 вернулся в Гёттинген, где сблизился с сотрудником Гаусса физи-ком В. Вебером, который пробудил в нём глубокий интерес к вопросам математического есте-ствознания. Работы Р. оказали большое влияние на развитие математики 2-й половины 19 и 20 века. В докторской диссертации Р. положил начало геометрическому направлению теории аналитиче-ских функций. Разработанные Р. методы получили широкое применение в его дальнейших трудах по теории алгебраических функций и интегралов, по аналитической теории дифференциальных уравнений (в частности, уравнений, определяющих гипергеометрические функции), по анали-тической теории чисел В знаменитой лекции 1854 «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (1867) Р. дал общую идею математического пространства (по его словам, «многообразия»), включая функци-ональные и топологические пространства. Более подробно Р. рассмотрел так называемые римановы пространства, обобщающие про-странства геометрий Евклида, Лобачевского и Римана, характеризующиеся специальным видом линейного элемента, и развил учение об их кривизне. Обсуждая применение своих идей к фи-зическому пространству, Р. поставил вопрос о «причинах метрических свойств» его, как бы предваряя то, что было сделано в общей теории относительности.