Высшая математика. Элементы высшей алгебры. Неопределенный интеграл

36 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1.ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИПервой основной задачей дифференциального исчисления можно было считать нахождение производной от заданной функции. Дана функция . Найти ′. Первой основной задачей интегрального исчисления является об-ращение основной задачи дифференциального исчисления: восста-новление продифференцированной функции по её производной. Дана производная функции ′. Найти . Интегрирование – операция, обратная дифференцированию. Как мы увидим дальше, эта задача оказывается значительно более труд-ной, чем задача дифференцирования. Введём основное для всей главы определение. Определение. Функция называется первообразной функцией или первообразной по отношению к функции на некотором промежутке X, если функция дифференцируема в каждой точ-ке этого промежутка и её производная или для всех ∈. Пример 1.1. Функция sin является первообразной для функции cos на всей числовой прямой, так как для всех x xxcos)(sin. Пример 1.2. Функция arctg является первообразной для функции , на всей числовой прямой, поскольку arctg . Пример 1.3. Функция √1 первообразная для функции –√ на интервале– 1; 1, так как в каждой точке x этого интервала √1–√.