Интегральное исчисление. Определённый интеграл

10 4.3. Замена переменной в определенном интеграле Пусть: 1. функция определена и непрерывна на отрезке ;; 2. функция g определена и непрерывна вместе с производной на отрезке ;, где g, g, и g. Тогда gg′. Замена переменной в определенном интеграле требует осторожно-сти и обязательного выполнения всех перечисленных условий, налага-емых на функцию g. При соблюдении этих требований важно отметить, что замена переменной в определенном интеграле приводит в общем случае к интегралу с новыми пределами интегрирования. Эти пределы находятся так: 1) в функцию g подставляется сначала нижний предел a за-данного интервала и решается уравнение g. Значение t, найденное из него, и будет новым нижним пределом . Если этому уравнению удовлетворяет не одно, а несколько значений t, то за зна-чение можно принять любое из них. 2) Затем для определения нового предела в функцию g под-ставляется верхний предел b заданного интеграла и решается уравне-ние g. Найденное из этого уравнения значение t будет новым верхним пределом . Если это уравнение имеет несколько корней, то за значение можно принять любое из них. 3) Однако, свобода выбора чисел и ограничивается требованием, чтобы значения функции g не выходили из отрезка ;, в кото-ром определена и непрерывна подынтегральная функция . Сделав замену переменной, изменив пределы интегрирования, после вычисления преобразованного определенного интеграла нет необходи-мости переходить к старой переменной, как это мы делали при вычисле-нии неопределенного интеграла с помощью замены переменной. Во многих случаях приходится вместо подстановки g, кото-рая переменную интегрирования x заменяет функцией новой перемен-ной, вводить новую переменную t как функцию старой переменной x, т.е. полагать . В этом случае новые пределы интегрирования ,. Если соотношение разрешить относительно x, то окажется,