Математический анализ

20 Здесь с и а - постоянные величины. Основные правила дифференцирования: Если с - постоянная, а u(x) и v(x) - дифференцируемые функции, то: 1)  uccu, 2) vuvu, 3)  vuvuuv, 4) 2vvuvuvu. Производная сложной функции. Пусть функция  xgu имеет производную xu в точке х0 , а функция  ufy - производную uf в точке  00xgu. Тогда сложная функция  xgfy в точке х0 имеет производную xuxufy . Логарифмической производной функции  xfy называется производная от логарифма этой функции, т.е.  yyyln. Тогда   xfxfyln. Данный прием полезен при дифференцировании произведения многих сомножителей, а также необходим при отыскании производной от показательно-степенной функции   xgxfy. Напомним, что  vuuvlnlnln, vuvulnlnln,  uaualnln. Производная обратной функции. Дифференцируемая функция   b a, x,xfy с производной  0xf имеет однозначную обратную функцию  yfx1, причем обратная функция также дифференцируема и справедлива формула xyyx1. Производные высших порядков. Производной n-го порядка от функции  xfy называется производная от производной порядка (n-1):    xyxynn1. Например,    yy - производная второго порядка. Дифференцирование неявных функций. Говорят, что функция   b a, x,xfy, неявно задана уравнением  0,yxF, если для всех  b ,ax следует  0xf ,xF. Для вычисления производной функции  xfy нужно тождество  0,yxF продифференцировать по х (рассматривая левую часть тождества как сложную функцию от х), а затем полученное уравнение разрешить относительно  xf. Дифференцирование функции, заданной параметрически. Система уравнений    b a, t,tg=y ,tfx, где    tg ,tf - дифференцируемые функции и  0tf, определяет у как однозначную дифференцируемую функцию от х:  xfgy1, при...