Методы оптимизации

3) Задача Дидоны (легендарная карфагенская царевна): найти замкнутую линию заданной длины, ограничивающую максимальную площадь. 1. П о н я т и е ф у н к ц и о н а л а является расширением понятия функции на случай, когда область определения есть множество объектов произвольной природы. Пусть дан некоторый класс С функций у(х). Если каждой функции у (х) Е С по некоторому закону поставлено в соответствие определенное число J, то говорят, что в классе С определен функционал ./. и пишут J = J [у]. Класс С функций у(х), на котором определен фун кционал J [у], называ-у( х) сравниваются значения функционала J [у], называются допустимыми кри­выми или кривыми сравнения. В качестве функций сравнения используются множества функций, задан­ных на отрезке [а, Ъ]. С [а, b] - класс непрерывных ф ункций. С ( 1 )[ а , Ъ] - класс гладких (имеющие непрерывные первые производные) функций. С( h )[ a , b ] -класс функций, имеющих непрерывные k-е производные (к = 0 , 1 , 2 , . . . ) . Расстоянием нулевого порядка между функциями у = у(х) и у = у1 (х), принадлежащим С [а, Ъ], называется неотрицательное число ро = ро[у(х),у1(х)] = max |у(х) - у1 ( х )|. a<x<b Расстоянием первого порядка между функциями у = у(х) и у = у1 (х), принадлежащим С( 1 )[ а , Ъ ] , называется неотрицательное число р1 = р1[ у ( х ) , у1( х ) ] = max |у(х) - у1(х)| + max |у / ( х ) - у1( х )| . a< x< b a< x< b 2 Пример 22. Вычислить функционал J[у(х)] = / [ у ( х ) ]3^ ^ , если у(х) = х. о Решение. Функционал задан как определенный интеграл, подставляя в это соотношение данную функцию, получим значение функционала. Имеем: 2 2 4 J [у(х)] = j [у (х)]3^х = j х3о?х = ^ |2 = 4 . оо Ответ: 4. Пример 23. Найти расстояние р0 между функциями у = х и у = х2 на [0, 1] 77