Основы математического анализа
В основе этого продвинутого учебника по математическому анализу — курс, который читался автором на факультете математики Высшей школы экономики. Представленный в книге материал имеет ряд отличий от традиционных курсов. Так, ряды вводятся сразу же после определения предела последовательности; в книгу входит экскурс в элементарную теорию множеств (включая лемму Цорна и ее применения) и в общую топологию (включая канторово множество и p-адические числа). Заметное место в учебнике уделено анализу на многообразиях, включая дифференциальные формы, теорему Стокса и теорему Фробениуса.Учебник будет полезен студентам младших курсов математических специальностей, преподавателям математики, а также всем интересующимся этой наукой.
Содержание
Содержание книги "Основы математического анализа "
Отрывок из книги
1.4. Некоторые классические пределыходят 3, а ограниченность этой последовательности очевидна. Стало быть,последовательностьyn=1+1+12!+13!+...+1n!сходится. Кроме того, в доказательстве того же предложения мы устано-вили, чтоynxn, откуда вытекает, чтоlimn→∞ynlimn→∞xn=e(см. нижезадачу1.5). Остается доказать обратное неравенство:limn→∞yne. Дляэтого заметим, что при любыхn,s >0 имеет место неравенство1+1+1−1n+s 12!+1−1n+s 1−2n+s 13!+......+1−1n+s 1−2n+s ...1−n−1n+s 1n!xn+s(в самом деле, в левой части стоят первыеn+1 членов разложениявыражения дляxn+sпо биному Ньютона). Переходя в этом неравенствек пределу приs→ ∞(см. ту же задачу), получим, что1+1+12!+13!+...+1n!lims→∞xn+s=e;стало быть,yneдля любогоn, откудаlimn→∞yne. Тем самым неравен-ство в противоположную сторону также доказано.Сейчас мы докажем одно общее утверждение о пределах, которое при-годится нам в дальнейшем. Иногда оно называется «теоремой Штольца»или «дискретным правилом Лопиталя» (c непрерывным, а не дискретнымправилом Лопиталя мы познакомимся в разд.2.8).Предложение 1.4.7.Пусть{xn}и{yn}— последовательности дей-ствительных чисел,причем последовательность{xn}монотонно воз-растает и стремится к бесконечности.Тогда если существует пределlimn→∞yn+1−ynxn+1−xn=c,то иlimn→∞ynxn=c.Это предложение имеет следующий геометрический смысл. Если данауходящая на бесконечность ломаная, у которой угловые коэффициентывсех звеньевAnAn+1строго положительны, и если угловые коэффициентыэтих звеньев стремятся к некоторому числуc, то и угловые коэффици-енты отрезковOAnстремятся кc(рис.1.1, а). При такой интерпретацииутверждение выглядит весьма правдоподобным. Строгое доказательствовыглядит так.27
С книгой "Основы математического анализа" читают
Внимание!
При обнаружении неточностей или ошибок в описании книги "Основы математического анализа (автор Сергей Львовский)", просим Вас отправить сообщение на почту help@directmedia.ru. Благодарим!
и мы свяжемся с вами в течение 15 минут
за оставленную заявку