Геометрия гамильтоновых систем и уравнений с частными производными

Читать фрагмент

книга

Геометрия гамильтоновых систем и уравнений с частными производными

Учебное пособие основано на материалах лекций, прочитанных автором в 2010/2011 и 2011/2012 учебных годах студентам факультета математики Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики». Цель пособия — ознакомить читателя с некоторыми основными идеями современной математики, имеющими механические или физические мотивировки. Его особенностью, отраженной в названии, является целенаправленное использование геометрических, наглядных образов. Много внимания автор уделяет разбору конкретных примеров.Адресовано студентам третьего-четвертого годов обучения в бакалавриате по специальности «Математика». От читателей требуется владение материалом обычной программы первых двух курсов математических факультетов.

Форматы: PDF

Серия: Учебники Высшей школы экономики

Издательство: Издательский дом Высшей школы экономики

Год: 2017

Место издания: Москва

ISBN: 978-5-7598-1184-8 (в пер.). - ISBN 978-5-7598-1624-9 (e-book)

Страниц: 353

Артикул: 20003

Электронная книга

352 ₽

Купить и скачать

Содержание

Содержание книги "Геометрия гамильтоновых систем и уравнений с частными производными "

Пpедисловие

Глава 1. Геометрическая оптика

1.1. Принцип Ферма

1.2. Принцип Гюйгенса

1.3. Четвертая проблема Гильберта

Глава 2. Функция действия и гамильтониан

2.1. Принцип наименьшего действия

2.2. Преобразование Лежандра и гамильтониан

2.3. Функция действия и уравнение Гамильтона–Якоби

Глава 3. Основы симплектической геометрии

3.1. Гладкие многообразия и векторные поля: напоминание

3.2. Дифференциальные формы: напоминание

3.3. Cимплектические многообразия

3.4. Примеры симплектических структур

3.5. Теорема Дарбу

Глава 4. Канонические преобразования

4.1. Теорема Пуанкаре о возвращении

4.2. Канонический формализм

4.3. Метод Гамильтона–Якоби

Глава 5. Вполне интегрируемые системы

5.1. Скобки Пуассона и первые интегралы

5.2. Интегрируемость

5.3. О теории КАМ

5.4. Структуры Ли–Пуассона

Глава 6. Уравнения с частными производными первого порядка

6.1. Квазилинейные уравнения первого порядка

6.2. Огибающие

6.3. Общие уравнения первого порядка

6.4. Теорема Коши–Ковалевской

Глава 7. Уравнения второго порядка

7.1. Классификация линейных УрЧП второго порядка

7.2. Волновое уравнение

7.3. Метод Даламбера

7.4. Принцип суперпозиции и метод Фурье

7.5. Метод последовательных приближений

7.6. Классический векторный анализ

7.7. Вывод уравнений математической физики

Глава 8. Уравнения Лапласа и Пуассона

8.1. Гармонические функции

8.2. Электростатика

8.3. Теорема о среднем

8.4. Гармонические функции на плоскости

8.5. Формула Пуассона и общие свойства гармонических функций

8.6. Неравенства Харнака

8.7. Теорема Пуанкаре–Перрона

Глава 9. Обобщенные функции и фундаментальные решения

9.1. Основные и обобщенные функции

9.2. Фундаментальные решения

9.3. Свертка и задачи Коши

Глава 10. Задачи на собственные значения дифференциальных операторов

10.1. Колебания и теплопроводность

10.2. Собственные функции лапласиана: простейшие примеры

10.3. Сферические гармоники

10.4. Общие свойства собственных функций и собственных значений

Список литературы

Предметный указатель

Отрывок из книги

ФУНКЦИЯ ДЕЙСТВИЯ И ГАМИЛЬТОНИАН2.1. ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯДвижение любой механической системы подчиняется вариационномупринципу, в чем-то похожему на принцип Ферма. Этот вариационный прин-цип называетсяпринципом наименьшего действия, и его часто связываютс именем Гамильтона (хотя он был ранее известен Лагранжу). Положениемеханической системы можно охарактеризовать точкой конфигурационно-го пространства1. Сейчас мы будем предполагать, что конфигурационноепространство совпадает сRn. При этом случайn >3 является физиче-ски осмысленным, поскольку механическая система может состоять болеечем из одной точки2. Движение системы соответствует движению точкив конфигурационном пространстве, то есть гладкому путиγ: [t0,t1]→Rn.Пусть фиксированы начальный и конечный моменты времениt0иt1соот-ветственно. Принцип наименьшего действия утверждает, что траекторияγмеханической системы такова, что интегралt1t0L(γ(t),˙γ(t))dtпо этому пути, называемыйфункционалом действия, минимален прификсированных начальном и конечном моментах времениt0иt1соответ-1Напомним, что точка конфигурационного пространства описывает допустимоеположение данной механической системы с учетом имеющихся связей. Такимобразом, про конфигурационное пространство можно думать как про пространствовсех положений.2Например, если механическая система состоит из двух никак не связанныхмежду собой точек вR3, то конфигурационное пространство этой системы совпа-дает сR3×R3=R6.39

Внимание!
При обнаружении неточностей или ошибок в описании книги "Геометрия гамильтоновых систем и уравнений с частными производными (автор Владлен Тиморин)", просим Вас отправить сообщение на почту help@directmedia.ru. Благодарим!

Геометрия гамильтоновых систем и уравнений с частными производными

Содержание

Отрывок из книги

С книгой "Геометрия гамильтоновых систем и уравнений с частными производными" читают