Теория вероятностей и математическая статистика

Читать фрагмент

книга

Теория вероятностей и математическая статистика

Автор: Александр Колданов, Петр Колданов

В учебнике изложены основные разделы теории вероятностей и математической статистики，составляющие базовый курс этого предмета. Особенность учебника заключается в равномерном распределении материала теории вероятностей и математической статистики. Сделан акцент на построении и анализе вероятностных моделей. При изложении математической статистики уделено внимание свойствам процедур статистического вывода. Излагается современный метод построения тестов, основанный на р-значениях. Выделен круг задач, для которых возможно построение оптимальных процедур статистического анализа. Все основные понятия и результаты проиллюстрированы подробно рассмотренными примерами. В конце каждой главы приведены задачи для самостоятельного решения.Для студентов вузов и всех, кто хочет овладеть методами теории вероятностей и математической статистики.

Форматы: PDF

Серия: Учебники Высшей школы экономики

Издательство: Издательский дом Высшей школы экономики

Год: 2023

Место издания: Москва

ISBN: 978-5-7598-2544-9 (в пер.). – ISBN 978-5-7598-2829-7 (е-bоок)

Страниц: 249

Артикул: 104123

Возрастная маркировка: 16+

Электронная книга

429 ₽

Купить и скачать

Содержание

Содержание книги "Теория вероятностей и математическая статистика "

Предисловие

Введение

Глава 1. Случайные события. Вероятность

1.1. Вероятностное пространство

1.1.1. Пространство элементарных исходов и случайные события

1.1.2. Операции над событиями

1.1.3. Алгебра. σ-алгебра

1.1.4. Аксиоматика теории вероятностей

1.2. Способы задания вероятности

1.2.1. Классический способ задания вероятности

1.2.2. Дискретное вероятностное пространство

1.2.3. Геометрический способ задания вероятности

1.2.4. Абсолютно непрерывное вероятностное пространство

1.2.5. Частота и вероятность

1.3. Простейшие формулы теории вероятностей

1.3.1. Простейшие следствия изак сиом

1.3.2. Теорема сложения

1.3.3. Условная вероятность и ее свойства

1.3.4. Теорема умножения

1.3.5. Формула полной вероятности и формула Байеса

1.4. Независимость случайных событий

1.4.1. Независимые события и их свойства

1.4.2. Типы связи между случайными событиями

1.4.3. Независимость в совокупности

1.4.4. Биномиальное распределение

1.4.5. Схема Бернулли

1.5. Задачи к главе 1

Глава 2. Случайные величины. Распределения

2.1. Случайные величины

2.1.1. Определение случайной величины на дискретном вероятностном пространстве

2.1.2. Типичные дискретные случайные величины

2.1.3. Определение случайной величины на произвольном вероятностном пространстве

2.2. Функция распределения

2.2.1. Свойства функции распределения

2.2.2. Разложение функции распределения и типы случайных величин

2.3. Дискретные случайные величины

2.4. Непрерывные случайные величины

2.4.1. Свойства плотности распределения

2.4.2. Типичные непрерывные случайные величины

2.4.3. Вывод распределения случайного времени работы сложной системы без учета эффекта усталости

2.5. Многомерные распределения

2.5.1. Свойства многомерной функции распределения

2.5.2. Типичные случайные векторы

2.6. Типы связи случайных величин

2.6.1. Маргинальное распределение

2.6.2. Независимость случайных величин

2.6.3. Стохастическая связь

2.6.4. Функции случайной величины

2.7. Функции случайного вектора

2.7.1. Распределение суммы. Формула свертки

2.7.2. Распределение отношения

2.8. Задачи к главе 2

Глава 3. Числовые характеристики

3.1. Математическое ожидание

3.1.1. Свойства математического ожидания

3.2. Дисперсия

3.2.1. Свойства дисперсии

3.3. Неравенство Чебышева

3.4. Закон больших чисел

3.5. Моменты распределения и другие характеристики

3.6. Числовые характеристики случайного вектора

3.6.1. Свойства ковариации

3.6.2. Коэффициент корреляции и его свойства

3.7. Условное математическое ожидание

3.8. Задачи к главе 3

Глава 4. Предельные теоремы

4.1. Предельные теоремы в схеме Бернулли

4.1.1. Предельный переход от гипергеометрической формулы к биномиальной формуле

4.1.2. Теорема Пуассона

4.1.3. Теоремы Муавра–Лапласа

4.2. Характеристические функции

4.3. Центральная предельная теорема

4.4. Задачи к главе 4

Глава 5. Выборка и ее характеристики

5.1. Задачи математической статистики

5.2. Статистическая структура и выборка

5.3. Выборочные аналоги функции распределения и моментов

5.4. Частота и вероятность

5.5. Задачи к главе 5

Глава 6. Оценивание

6.1. Задача оценивания параметров

6.2. Метод моментов

6.3. Метод разделяющих разбиений

6.4. Оценки максимального правдоподобия

6.5. Байесовские оценки

6.6. Свойства оценок

6.6.1. Несмещенность

6.6.2. Эффективность

6.6.3. Состоятельность

6.6.4. Асимптотическая нормальность

6.7. Доверительные интервалы

6.7.1. Неравенство Чебышева и доверительные интервалы

6.7.2. Доверительный интервал для математического ожидания нормального закона при известной дисперсии

6.7.3. Доверительный интервал для дисперсии нормального распределения

6.7.4. Асимптотические доверительные интервалы

6.8. Асимптотические свойства эмпирической функции распределения

6.9. Задачи к главе 6

Глава 7. Тесты значимости

7.1. Гипотезы и тесты

7.2. Доверительные интервалы и проверка гипотез

7.3. Тесты значимости и принцип выбора критической области

7.4. Критерий χ²

7.5. Критерии Колмогорова и Смирнова

7.6. Вероятностное интегральное преобразование

7.7. Тесты λ Пирсона

7.8. Моделирование случайных величин

7.9. Задачи к главе 7

Глава 8. Оптимальные тесты

8.1. Понятие оптимальности

8.2. Фундаментальная лемма Неймана–Пирсона

8.3. Равномерно наиболее мощные тесты

8.4. Функция мощности

8.5. Несмещенность

8.6. Тест максимального правдоподобия

8.7. Достаточные статистики

8.8. Задачи к главе 8

Список литературы

Предметный указатель

Отрывок из книги

1.1. Вероятностное пространство1.1.4. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙВ настоящее время общепринятой является аксиоматика, предложеннаяв [8]. Пусть дано пространствоΩ, которое мы будем называть простран-ством элементарных исходов. ПустьA— некоторый класс подмножествΩ.Аксиома 1:Aявляется алгеброй.ЭлементыA∈ Aназываютсяслучайными событиями.Аксиома 2:∀A∈ Aпоставлено в соответствие действительное,неотрицательное числоP(A)0,которое называется вероятностьюсобытияA.Аксиома 3(аксиома нормировки):P(Ω) =1.Аксиома 4(аксиома конечной аддитивности):∀A,B∈ A:A∩B=∅→P(A∪B) =P(A) +P(B).(1.1)Замечание 1.1.2.Аксиому 4 можно было бы сформулировать сразу дляпроизвольного конечного числа попарно непересекающихся событий. Такаяформулировка дана в следствии 1.3.5.Замечание 1.1.3.Здесь и далее мы будем использовать сокращеннуюзапись, используя математические кванторы. Например, запись (1.1) озна-чает: для любых событийA,B, являющихся элементами алгебрыA, кото-рые не имеют общих точек (не пересекаются), вероятность их объединенияравна сумме вероятностей событийAиB.Теория вероятностей, основанная на этих 4-х аксиомах, называетсяэлементарной. Ее вполне достаточно для рассмотрения всех случаев, когдапространствоΩсостоит изконечного числа элементарных исходов.При рассмотрении задач, в которых пространствоΩсостоит избеско-нечного числа элементарных исходов, система аксиом имеет следующийвид.Аксиома 1:Aявляетсяσ-алгеброй событий.Аксиома 2:∀A∈ A →P(A)0.Аксиома 3:P(Ω) =1.Аксиома 4:∀A,B∈ A:A∩B=∅→P(A∪B) =P(A) +P(B).Аксиома 5(непрерывности):для любой монотонно убывающей по-следовательности событийA1⊃A2⊃...⊃Ai⊃Ai+1⊃...справедливо∞i=1Ai=∅→limi→∞P(Ai) =0.Можно доказать [3], что аксиомы 4 и 5 эквивалентны аксиоме 6.19

Внимание!
При обнаружении неточностей или ошибок в описании книги "Теория вероятностей и математическая статистика (автор Александр Колданов, Петр Колданов)", просим Вас отправить сообщение на почту help@directmedia.ru. Благодарим!

Теория вероятностей и математическая статистика

Содержание

Отрывок из книги

С книгой "Теория вероятностей и математическая статистика" читают