Метрические пространства

1.Покажем, что lim ( , )nnnx y. В силу неравенства четырехугольника (см. задачу 15 к п. 1) ( , )( ,)( , )( ,)nnmmnmnmx yx yx xy y. Поскольку  nx и  ny фундаментальны, то 0  N : ,n m N ( , )2nmx x и ( ,)2nmy y. Тогда ( , )( ,)nnmmx yx y, т.е. числовая последовательность ( , )nnx y фундаментальна. В силу критерия Коши lim ( , )nnnx y. Введем расстояние в X по формуле ( , ) lim ( , )nnnx yx y. 2.Покажем, что так введенное расстояние не зависит от выбора по-следовательностей  nx и  ny в соответствующих классах. Возьмем две другие последовательности  'nx и  'ny в тех же самых классах x и y, тогда ( , )( , ')( ',')( ', )nnnnnnnnx yx xx yy y. Перехо-дим в этом неравенстве к пределу при n : lim ( , ) lim ( , ') lim ( ',') lim ( ', )nnnnnnnnnnnnx yx xx yy y. По определению наших классов ( , ')0nnx x и ( ,')0nny y, откуда следует, что lim ( , ) lim ( ',')nnnnnnx yx y. Аналогично, расписывая ( ',')nnx y, получаем, что lim ( ',') lim ( , )nnnnnnx yx y. Таким образом, lim ( , ) lim ( ',')nnnnnnx yx y. 3.Проверим для введенного расстояния выполнение аксиом метрики.а) Т.к. ( , ) 0nnx y, то ( , ) lim ( , ) 0nnnx yx y. б) Поскольку ( , ) lim ( , ) 0nnnx yx y тогда и только тогда, когда ,nnx y принадлежат одному классу, а  nx и  ny – произвольные последо-вательности из классов x и y, то x y. 57