Гильбертовы пространства

5311( , ) (, ) ( , ) ( , ) ( , ),,nniiiiik kiikkikkh exa ex ea ex ec e ecc e e. При ik ,0kie e, т.е. из суммы останется только одно слагаемое с номером i, т.е. 2( , ),0iiiiiiiih ecc e ecc e. Таким образом, вектор h ортогонален всем векторам ie. Поскольку a является линейной комбинацией ie, то h также ортогонален и вектору a. Итак, xah, ah, поэтому по теореме Пифагора 222xah, откуда 22ax. Поскольку система 123, , ,...e e e – ортонормированная, то справедлив обобщенный вариант теоремы Пифагора (см. задачу 6 к п. 1), согласно кото-рому 2222221111nnnnk kk kkkkkkkkac ec ecec. Тогда получаем, что 221nkkcx. Переходя к пределу при n , полу-чаем, что 221kkcx. Теорема доказана. Замечание: из неравенства Бесселя видно, что ряд 21kkc, составленный из коэффициентов Фурье вектора xH, всегда сходится. Теорема (о сходимости ряда Фурье): в гильбертовом пространстве ряд Фурье всегда сходится. Доказательство: пусть 1k kkc e – ряд Фурье, 1nnk kkSc e – его частичная сумма. По определению сходимости ряда надо доказать, что limnnS.