Высшая математика

Содержание книги "Высшая математика"

Глава 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Основные понятия и определения
2. Методы вычисления неопределенных интегралов
2.1. Вычисление интегралов с помощью таблицы интегралов и правил интегрирования
2.2. Метод подведения под знак дифференциала
2.3. Метод интегрирования по частям
2.4. Метод замены переменной (метод подстановки)
2.5. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
2.6. Интегрирование дробно-рациональных функций
2.7. Интегрирование тригонометрических функций
Глава 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Основные понятия и определения
2. Правила вычисления определенного интеграла
3. Геометрические приложения определенного интеграла
3.1. Площадь плоской фигуры
3.2. Объем тела вращения
3.3. Длина дуги плоской кривой
3.4. Площадь поверхности вращения
Глава 3. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Основные понятия и определения
2. Свойства несобственных интегралов
3. Сходимость несобственных интегралов
Глава 4. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1. Двойной интеграл
1.1. Понятие и свойства двойного интеграла
1.2. Вычисление двойного интеграла в прямоугольной системе координат
1.3. Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным координатам
1.4. Приложения двойного интеграла
2. Тройной интеграл
2.1. Понятие и свойства тройного интеграла
2.2. Вычисление тройного интеграла
2.3. Замена переменных в тройном интеграле. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам
2.4. Приложения тройного интеграла
3. Криволинейные интегралы
3.1. Криволинейный интеграл 1-го рода
3.2. Приложения криволинейного интеграла 1-го рода
3.3. Криволинейный интеграл 2-го рода
3.4. Формула Грина
4. Поверхностные интегралы
4.1. Поверхностный интеграл 1-го рода
4.2. Приложения поверхностного интеграла 1-го рода
4.3. Поверхностный интеграл 2-го рода
4.4. Формула Стокса
4.5. Формула Остроградского
5. Элементы векторного анализа
5.1. Скалярное и векторное поле
5.2. Градиент
5.3. Поток векторного поля через поверхность
5.4. Дивергенция, формула Остроградского
5.5. Циркуляция вектора, формула Стокса, вихрь
5.6. Потенциальное и соленоидальное поля
Глава 5. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
1. Евклидовы и унитарные пространства
1.1. Скалярное произведение в действительном линейном пространстве
1.2. Скалярное произведение в комплексном линейном пространстве
1.3. Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов
1.4. Ортогональная система элементов и ее свойства
2. Линейные операторы
2.1. Определение линейного оператора. Матрица линейного оператора
2.2. Связь координат образа и координат прообраза. Связь матриц оператора в разных базисах
2.3. Образ и ядро, ранг и дефект линейного оператора
2.4. Алгебра линейных операторов
2.5. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
2.6. Структура линейного оператора
2.7. Сопряженные и самосопряженные операторы
3. Квадратичные формы в евклидовом пространстве
3.1. Определение квадратичной формы. Матрица квадратичной формы
3.2. Приложение квадратичных форм к задачам аналитической геометрии
Глава 6. ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Основные понятия и определения
2. Дифференциальные уравнения первого порядка
2.1. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка и его решений
2.2. Задача Коши
3. Дифференциальные уравнения высших порядков
3.1. Задача Коши
3.2. Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков
3.3. Теория линейных дифференциальных уравнений высшего порядка
3.4. Общая теория однородных линейных дифференциальных уравнений (ОЛДУ)
3.5. Восстановление однородного линейного дифференциального уравнения по его фундаментальной системе решений
4. Интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений
4.1. Метод Эйлера
4.2. Интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, допускающих понижение порядка
4.3. Интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, сводящихся к однородным линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами
5. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений
5.1. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
5.2. Метод подбора частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами по виду правой части
Глава 7. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ)
1. Общие понятия и определения
2. Геометрическая интерпретация СДУ в нормальной форме
3. Механическая интерпретация СДУ в нормальной форме
4. Задача Коши для СДУ в нормальной форме
5. Некоторые приемы аналитического решения СДУ
5.1. Сведение к одному уравнению
5.2. Метод интегрируемых комбинаций
5.3. Симметричная форма записи СДУ
6. Системы линейных дифференциальных уравнений
6.1. Свойства решений СОЛДУ x
6.2. Свойства матриц фундаментальной системы решений СОЛДУ
6.3. Системы неоднородных линейных дифференциальных уравнений x = A(t ) x +B (t ), t О(a,b)
6.4. Метод Эйлера нахождения решений СОЛДУ с постоянными коэффициентами
Список литературы