64 лекции по математике

Содержание книги "64 лекции по математике"

Введение
Раздел 1. Матрицы и системы линейных уравнений
Лекция 1. Введение в матричную алгебру
1.1. Основные понятия
1.2. Сложение матриц и умножение на число
1.3. Умножение матриц
1.4. Матрицы и линейные преобразования
Лекция 2. Правило Крамера и определители матриц
2.1. Системы двух уравнений с двумя неизвестными
2.2. Системы трех уравнений с тремя неизвестными
Лекция 3. Системы и определители матриц n-го порядка
3.1. Матричная запись системы линейных уравнений
3.2. Определители матриц порядка n и их свойства
3.3. Обратная матрица
Лекция 4. Системы m уравнений с n неизвестными
4.1. Ранг матрицы
4.2. Теорема Кронекера-Капелли
Раздел 2. Векторная алгебра
Лекция 5. Векторы и линейные операции над ними
5.1. Основные понятия и определения
5.2. Линейные операции над векторами
5.3. Проекция вектора на ось
Лекция 6. Линейная комбинация векторов. Системы координат
6.1. Линейная комбинация векторов
6.2. Разложение вектора по базису. Координаты вектора
6.3. Декартова система координат
6.4. Полярная система координат
Лекция 7. Скалярное произведение
7.1. Скалярное произведение двух векторов
7.2. Скалярное произведение в прямоугольных координатах
7.3. Деление отрезка в заданном отношении
Лекция 8. Векторное и смешанное произведения векторов
8.1. Векторное произведение
8.2. Смешанное произведение
Раздел 3. Аналитическая геометрия. Прямые и плоскости
Лекция 9. Прямая линия на плоскости
9.1. Общее уравнение прямой
9.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
9.3. Параметрические и канонические уравнения прямой
Лекция 10. Задачи, связанные с прямыми на плоскости
10.1. Взаимное расположение двух прямых
10.2. Пучок прямых, определяемый двумя пересекающимися прямыми
10.3. Расстояние от точки до прямой
10.3. Линейные неравенства
Лекция 11. Плоскость
11.1. Различные виды уравнения плоскости
11.2. Взаимное расположение двух плоскостей
11.3. Расстояние от точки до плоскости
Лекция 12. Прямая линия в пространстве
12.1. Различные виды уравнений прямой
12.2. Проекция точки на прямую и расстояние от точки до прямой в пространстве
12.3. Пересечение прямых в пространстве
12.4. Расстояние между двумя прямыми
Лекция 13. Взаимное расположение прямых и плоскостей
13.1. Угол между прямыми
13.2. Угол между прямой и плоскостью
13.3. Пересечение прямой с плоскостью
Лекция 14. Другие задачи о прямых и плоскостях
Раздел 4. Математический анализ. Дифференциальное исчисление
Лекция 15. Функция
15.1. Функция и способы её задания
15.2. Обратная функция
15.3. Предел последовательности
Лекция 16. Свойства пределов. Второй замечательный предел
16.1. Свойства сходящихся последовательностей
16.2. Второй замечательный предел
16.3. Раскрытие неопределённостей
Лекция 17. Предел функции. Непрерывность
17.1. Предел функции
17.2. Первый замечательный предел
17.3. Непрерывность функции
17.4. Свойства непрерывных функций
Лекция 18. Производная
18.1. Физический, геометрический и математический смысл производной
18.2. Вычисление производных
18.3. Уравнение касательной. Угол между кривыми
18.4. Правила дифференцирования
Лекция 19. Производная (продолжение)
19.1. Дифференцирование сложной и обратной функций
19.2. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Касательная к параметрически заданной кривой
19.3. Производная функции, заданной неявно. Касательная к неявно заданной кривой
19.4. Логарифмическое дифференцирование
19.5. Сводка формул производных и правил дифференцирования
19.6. Производные высших порядков
Лекция 20. Вектор-функция
20.1. Вектор-функция и её задание
20.2. Предел, непрерывность и производная вектор-функции
20.3. Уравнения касательной к пространственной кривой и уравнение нормальной плоскости
Лекция 21. Дифференциал
21.1. Дифференциал функции
21.2. Правило Лопиталя
Лекция 22. Исследование функций и построение их графиков
22.1. Формула Лагранжа
22.2. Признак монотонности функции
22.3. Экстремумы
Лекция 23. Исследование функций и построение их графиков (продолжение)
23.1. Выпуклость
23.2. Точки перегиба
23.3. Асимптоты
23.4. Примерный план исследования функции
Лекция 24. Кривизна. Приближённое решение уравнений
24.1. Понятие кривизны
24.2. Вычисление кривизны плоской кривой
24.3. Геометрический смысл кривизны
24.4. Приближённое решение уравнений
Раздел 5. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
Лекция 25. Линии второго порядка
25.1. Эллипс
25.2. Гипербола
Лекция 26. Парабола. Приведение кривых к каноническому виду
26.1. Парабола
26.2. Вырожденные случаи
26.3. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду
26.4. Параллельный перенос осей координат
26.5. Преобразование поворота системы координат
Лекция 27. Поверхности второго порядка
27.1. Цилиндрические поверхности
27.2. Поверхности вращения
Лекция 28. Канонические уравнения поверхностей второго порядка
28.1. Эллипсоиды
28.2. Гиперболоиды
28.3. Конусы
28.4. Параболоиды
Раздел 6. Математический анализ. Интегральное исчисление
Лекция 29. Неопределенный интеграл
29.1. Первообразная функция и неопределённый интеграл
29.2. Интегрирование методами подстановки и замены переменной
Лекция 30. Методы интегрирования (продолжение)
30.1. Интегрирование простейших иррациональностей
30.2. Интегрирование по частям
30.3. Интегрирование тригонометрические выражений
Лекция 31. Комплексные числа
31.1. Введение
31.2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
31.3. Тригонометрическая форма комплексного числа
31.4. Операции над комплексными числами
Лекция 32. Решение алгебраических уравнений
32.1. Извлечение корня из комплексного числа
32.2. Квадратное уравнение
32.3. Разложение многочлена на множители
32.4. Разложение на простые дроби и интегрирование дробно-рациональных функций
Лекция 33. Определённый интеграл
33.1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла
33.2. Понятие определённого интеграла
33.3. Существование первообразной функции
33.4. Формула Ньютона - Лейбница
Лекция 34. Вычисление определённого интеграла
34.1. Интегрирование по частям и замена переменной
34.2. Вычисление площади фигуры в полярной системе координат
34.3. Вычисление площади фигуры, ограниченной кривыми, заданными параметрически
Лекция 35. Другие приложения определённого интеграла
35.1. Объём тела с известной площадью поперечного сечения
35.2. Вычисление объёмов тел вращения
35.3. Несобственные интегралы
Раздел 7. Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Лекция 36. Функции многих переменных
36.1. Понятие функции двух переменных
36.2. Предел и непрерывность функции двух переменных
36.3. Частные производные, производная по направлению
Лекция 37.Производные сложных функций
37.1. Дифференцирование сложных функций
37.2. Вычисление производной по направлению
37.3. Дифференцирование неявных функций
37.4. Градиент
37.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Лекция 38. Дифференциал и экстремумы функции двух переменных
38.1. Дифференцируемость функции двух переменных. Дифференциал
38.2. Производные и дифференциалы высших порядков
38.3. Экстремумы функции многих переменных
Лекция 39. Условный экстремум
39.1. Понятие условного экстремума
39.2. Метод множителей Лагранжа