Численные методы : линейная алгебра и нелинейные уравнения

Содержание книги "Численные методы"

Предисловие
Глава 1. Об учете погрешностей приближенных вычислений
1.1. Общая формула для оценки главной части погрешности
1.2. Статистический и технический подходы к учету погрешностей действий
1.3. Понятие о погрешностях машинной арифметики
1.4. Примеры неустойчивых задач и методов
1.5. Обусловленность линейных алгебраических систем
1.6. Погрешности корней скалярных уравнений с приближенными коэффициентами
1.7. Корректные и некорректные задачи. Понятие о методах регуляризации
Упражнения
Глава 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений (прямые методы)
2.0. Введение
2.1. Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса с постолбцовым выбором главного элемента
2.2. Применение метода Гаусса к вычислению определителей и к обращению матриц
2.3. LU-разложение матриц
2.4. Решение линейных систем и обращение матриц с помощью LU-разложения
2.5. Разложение симметричных матриц. Метод квадратных корней
2.6. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов
2.7. Метод вращений решения линейных систем
2.8. Два замечания к применению прямых методов
2.8.1. О контроле точности и уточнении приближенного решения в рамках прямого метода
2.8.2. О вычислительных затратах
Упражнения
Глава 3. Итерационные методы решения линейных алгебраических систем и обращения матриц
3.1. Решение СЛАУ методом простых итераций
3.2. Метод Якоби
3.3. Метод Зейделя
3.4. Понятие о методе релаксации
3.5. О других итерационных методах решения СЛАУ
3.6. Быстросходящийся итерационный способ обращения матриц
3.7. О роли ошибок округления в итерационных методах
Упражнения
Глава 4. Методы решения алгебраических проблем собственных значений
4.1. Собственные пары матриц и их простейшие свойства
4.2. Степенной метод
4.3. Обратные итерации
4.4. Метод вращений Якоби решения симметричной полной проблемы собственных значений
4.5. Понятие об LU- и QR-алгоритмах для несимметричных задач
Упражнения
Глава 5. Ортогональное разложение матриц и его применения
5.1. Преобразование Хаусхолдера. QR-факторизация матриц
5.2. Метод отражений решения СЛАУ
5.3. Матрица Хессенберга
5.4. Преобразование Гивенса
5.5. Сдвиги и понижение размерности в QR-алгоритме
Упражнения
Глава 6. Сингулярное разложение прямоугольных матриц
6.1. Сингулярные числа и сингулярное разложение
6.2. Стратегия получения SVD-разложения. Этап двухдиагонализации
6.3. Разложение двухдиагональной матрицы
6.4. Некоторые применения SVD-разложений
6.4.1. Ранг матрицы
6.4.2. Модуль определителя
6.4.3. Число обусловленности
6.4.4. Общее решение однородной системы
6.4.5. Решение произвольной СЛАУ
6.4.6. Псевдообратная матрица
Упражнения
Глава 7. Методы решения нелинейных скалярных уравнений
7.1. Локализация корней
7.2. Метод дихотомии. Метод хорд
7.3. Типы сходимостей итерационных последовательностей
7.4. Метод Ньютона
7.5. Применение метода Ньютона к вычислению значений функций
7.6. Модификации метода Ньютона. Метод секущих
7.7. Полюсные методы Ньютона и секущих
Упражнения
Глава 8. Скалярная задача о неподвижной точке. Алгебраические уравнения
8.1. Задача о неподвижной точке. Метод простых итераций
8.2. Ускорение сходимости последовательных приближений
8.2.1. А -процесс Эйткена
8.2.2. Метод Вегстейна
8.3. Нелинейные уравнения с параметром. Бифуркации
8.4. О методах решения алгебраических уравнений. Метод Бернулли
Упражнения
Глава 9. Методы решения систем нелинейных уравнений
9.1. Векторная запись нелинейных систем. Метод простых итераций
9.2. Метод Ньютона, его реализации и модификации
9.3. Метод Брауна
9.4. Метод секущих Бройдена
9.5. Обобщение полюсного метода Ньютона на многомерный случай
9.6. О решении нелинейных систем методами спуска
9.7. Численный пример
9.8. Сходимость метода Ньютона и некоторых его модификаций
Упражнения
Приложение 1. Краткие сведения о нормах векторов и матриц
Приложение 2. Производные векторных функций
Приложение 3. Образцы постановок лабораторных заданий
Литература
Предметный указатель
Указатель обозначений и сокращений
Об авторе