Основы численных методов

Содержание книги "Основы численных методов"

Предисловие
Глава 1. Об учете погрешностей приближенных вычислений
1.1. Общая формула для оценки главной части погрешности
1.2. Статистический и технический подходы к учету погрешностей действий
1.3. Понятие о погрешностях машинной арифметики
1.4. Примеры неустойчивых задач и методов
1.5. Обусловленность линейных алгебраических систем
1.6. Погрешности корней скалярных уравнений с приближенными коэффициентами
1.7. Корректные и некорректные задачи. Понятие о методах регуляризации
Упражнения
Глава 2. Решение линейных алгебраических систем (прямые методы)
2.0. Введение
2.1. Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса с постолбцовым выбором главного элемента
2.2. Применение метода Гаусса к вычислению определителей и к обращению матриц
2.3. LU-разложение матриц
2.4. Решение линейных систем и обращение матриц с помощью LU-разложения
2.5. Разложение симметричных матриц. Метод квадратных корней
2.6. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов
2.7. Метод вращений решения линейных систем
2.8. Два замечания к применению прямых методов
Упражнения
Глава 3. Итерационные методы решения линейных алгебраических систем и обращения
3.1. Решение СЛАУ методом простых итераций
3.2. Метод Якоби
3.3. Метод Зейделя
3.4. Понятие о методе релаксации
3.5. О других итерационных методах решения СЛАУ
3.6. Быстросходящийся итерационный способ обращения матриц
3.7. О роли ошибок округления в итерационных методах
Упражнения
Глава 4. Методы решения алгебраических проблем собственных значений
4.1. Собственные пары матриц и их простейшие свойства
4.2. Степенной метод
4.3. Обратные итерации
4.4. Метод вращений Якоби решения симметричной полной проблемы собственных значений
4.5. Понятие об LU-алгоритме для несимметричных задач
4.6. QR-алгоритм
Упражнения
Глава 5. Методы решения нелинейных скалярных уравнений
5.1. Локализация корней
5.2. Метод дихотомии. Метод хорд
5.3 Типы сходимостей итерационных последовательностей
5.4. Метод Ньютона
5.5. Применение метода Ньютона к вычислению значений функций
5.6. Модификации метода Ньютона. Метод секущих
5.7. Полюсные методы Ньютона и секущих
Упражнения
Глава 6. Скалярная задача о неподвижной точке. Алгебраические уравнения
6.1. Задача о неподвижной точке. Метод простых итераций
6.2. Ускорение сходимости последовательных приближений
6.2.1. 2 -процесс Эйткена
6.2.2. Метод Вегстейна
6.3. Нелинейные уравнения с параметром. Бифуркации
6.4. О методах решения алгебраических уравнений. Метод Бернулли
Упражнения
Глава 7. Методы решения систем нелинейных уравнений
7.1. Векторная запись нелинейных систем. Метод простых итераций
7.2. Метод Ньютона, его реализации и модификации
7.3. Метод Брауна
7.4. Метод секущих Бройдена
7.5. Обобщение полюсного метода Ньютона на многомерный случай
7.6. О решении нелинейных систем методами спуска
7.7. Численный пример
7.8. Сходимость метода Ньютона и некоторых его его модификаций
Упражнения
Глава 8. Полиномиальная интерполяция
8.1. Задача и способы аппроксимации функций
8.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
8.3. Интерполяционная схема Эйткена
8.4. Конечные разности
8.5. Конечноразностные интерполяционные формулы
8.6. Интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих узлов
8.7. Обратное интерполирование
8.8. Интерполяция с кратными узлами
Упражнения
Глава 9. Многочлены Чебышева и наилучшие равномерные приближения
9.1. Определение и свойства многочленов Чебышева
9.2. Интерполяция по чебышевским узлам
9.3. О многочленах наилучших равномерных приближений
9.4. Экономизация степенных рядов
Упражнения
Глава 10. Метод наименьших квадратов и наилучшие среднеквадратические приближения
10.1. Простейшая обработка эмпирических данных методом наименьших квадратов
10.2. Обобщенные многочлены наилучших среднеквадратических приближений
10.3. О нормальной системе МНК при полиномиальной аппроксимации
10.4. Системы ортогональных многочленов
10.5. Простая процедура построения системы ортогональных многочленов
10.6. Аппроксимация функций многочленами Фурье
Упражнения
Глава 11. Интерполяционные сплайны
11.1. Кусочно-полиномиальная аппроксимация. Линейные фильтры
11.2. Определение сплайна. Интерполяционный кубический сплайн дефекта 1
11.3. Квадратичный сплайн дефекта 1
11.4. Базисные сплайны
11.5. Эрмитовы (локальные) сплайны
Упражнения
Глава 12. Численное интегрирование
12.1. Задача численного интегрирования. Квадратурные формулы прямоугольников
12.2. Семейство квадратурных формул Ньютона–Котеса
12.3. Составные квадратурные формулы трапеций и Симпсона
12.4. Соотношения между формулами прямоугольников, трапеций и Симпсона
12.5. Принцип Рунге практического оценивания погрешностей. Алгоритм Ромберга
12.6. Квадратурные формулы Чебышева и Гаусса
12.7. Формулы Гаусса–Кристоффеля
12.8. Приемы приближенного вычисления несобственных интегралов
Упражнения
Глава 13. Аппроксимация производных
13.1. Вывод формул численного дифференцирования
13.2. Остаточные члены простейших формул численного дифференцирования
13.3. Оптимизация шага численного дифференцирования при ограниченной точности значений функции
Упражнения
Глава 14. Методы Эйлера и Рунге–Кутты решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
14.1. Постановка задачи. Классификация приближенных методов. Метод последовательных приближений
14.2. Метод Эйлера — разные подходы к построению
14.3. Несколько простых модификаций метода Эйлера
14.4. Исправленный метод Эйлера
14.5. О семействе методов Рунге–Кутты. Методы второго порядка
14.6. Методы Рунге–Кутты произвольного и четвертого порядков
14.7. Пошаговый контроль точности. Метод Кутты–Мерсона
Упражнения
Глава 15. Линейные многошаговые методы
15.1. Многошаговые методы Адамса
15.2. Методы прогноза и коррекции. Предикторкорректорные методы Адамса
15.3. Метод Милна четвертого порядка
15.4. Общий вид линейных многошаговых методов. Условия согласованности
15.5. О численном решении систем дифференциальных уравнений первого порядка
15.6. Численное решение дифференциальных уравнений высших порядков. Методы Адамса–Штёрмера
Упражнения
Глава 16. О проблемах численной устойчивости
16.1. Общая схема решения задач численного анализа. Аппроксимация, устойчивость, сходимость
16.2. Простейшие разностные аппроксимации задачи Коши. Глобальная погрешность метода Эйлера
16.3. Краткие сведения о решениях линейных разностных уравнений с постоянными коэффицентами
16.4. Устойчивость и неустойчивость некоторых простейших разностных схем
16.5. Исследование устойчивости многошаговых методов
16.6. Жесткие уравнения и системы
16.7. A- и A(? )-устойчивость. Чисто неявные методы
Упражнения
Глава 17. Методы приближенного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
17.1. Постановка задачи. Классификация приближенных методов
17.2. Методы сведения краевых задач к начальным
17.3. Метод конечных разностей
17.4. Метод коллокации
17.5. Метод Галёркина
17.6. Метод конечных элементов
Упражнения
Глава 18. Численное решение интегральных уравнений
18.1. Некоторые общие сведения об интегральных уравнениях
18.2. Квадратурный метод решения интегральных уравнений Фредгольма
18.3. Квадратурный метод решения интегральных уравнений Вольтерра
18.4. Квадратурно-итерационный метод построения резольвент
Упражнения
Глава 19. Дифференциальные уравнения с частными производными
19.1. Примеры уравнений математической физики. Классификация уравнений с частными производными
19.2. Постановки задач для уравнений математической физики
19.3. Метод разделения переменных
19.4. Метод прямых
19.5. Вариационные методы. Метод Ритца (общая схема)
19.6. Метод Ритца для двумерной задачи Дирихле
19.7. О двумерном методе конечных элементов
Упражнения
Глава 20. Конечноразностные методы решения эволюционных задач
20.1. Некоторые разностные схемы для уравнения теплопроводности
20.2. Аппроксимация, устойчивость, сходимость разностных схем для уравнения теплопроводности
20.3. Двухслойный шеститочечный и другие шаблоны для параболических уравнений
20.4. Дискретизация волнового уравнения
20.5. О консервативных схемах и о разрывных решениях
20.6. Разностные схемы для параболического уравнения с двумя пространственными переменными
Упражнения
Глава 21. Метод конечных разностей для стационарных задач
21.1. Конечноразностная дискретизация краевых задач для эллиптических уравнений
21.2. О специфике СЛАУ, аппроксимирующих эллиптические уравнения, и прямых методах их решения
21.3. Об итерационном решении сеточных уравнений
21.4. Методы установления
Упражнения
Заключительное замечание
Приложение 1. Некоторые сведения из функционального анализа
Приложение 2. Образцы постановок лабораторных заданий
Литература
Предметный указатель
Указатель обозначений и сокращений
Об авторе