Курс элементарной алгебры

— 30 — Такие пропорции называются непрерывными геометрическими про­порциями и повторяющийся их член (у нас х) называется с р е д ­н и м г е о м е т р и ч е с к и м или с р е д н и м п р о п о р ц и о н а л ь ­н ы м между двумя остальными членами (между а и Ь). Из нашей пропорции, безразлично первой ли или второй, получим : х^~аЪ и x~V аЪ . Отсюда выясняется порядок вычисления среднего пропорцио­нального для двух данных чисел: надо эти числа перемножить и извлечь из полученного произведения квадратный корень, причем надо взять лишь положительное его значение. Так, для чисел 9 и 4 среднее арифметическое число = = ^ - i ^ = 6-1-, а среднее геометрическое = V 9 . 4 = 6. Нахождение среднего пропорционального приводит, следова­тельно, к решению квадратного уравнения а? = аЪ. Пусть будут даны 2 положительных числа а и Ь, неравные между собою. Сравним их средние арифметическое и геометрическое, т.-е. а^ ~ в н V аЪ . Вычитая из 1-го второе, получим: а + Ъ y~_a+b^2V^_(V~a)s~-2VaV^-j-(V bf _ 2 ^ 2 ~ 2 ~~ _ (V~a—Vl>y Так как а и Ь положительны, то V а — Vb или положительное или отрицательное число, а его квадрат, т.-е. (У а — Vb)2 обя­зательно положительное число, из чего заключаем, что умень­шаемое fl~j~ ^ больше вычитаемого, т.-е. V аЪ. Итак, С р е д н е е а р и ф м е т и ч е с к о е д в у х п о л о ж и т е л ь н ы х ч и с е л б о л ь ш е их с р е д н е г о п р о п о р ц и о н а л ь н о г о .