Численные методы

- 55 -Лекция 55.2. Многочлены Чебышёва и их свойства1. Многочлены Чебышёва Т xn( ), n≥0 на отрезке−[]1 1; задают-ся формулой T xnxn( ) cos( arccos )=⋅. (5.1)В частности, при n=0 1 2, , имеем:T xx001( ) cos( arccos );=⋅= T xxx11( ) cos( arccos );=⋅=T xxxxxx222221( ) cos( arccos )cos (arccos ) sin (arccos )(=⋅==−==− −22221).=−x Далее из тождестваcos()coscoscos() ,nnn+=⋅−−121φφφφ полагая P xn( ), в соответствии с (5.1) получаем ТxxT xTxnnn+−=−112( )( )( ), (5.2) где n=1 2, ,.... По рекуррентной формуле (5.2) последователь-но находим:T xxx3343( ),=−T xxx442881( ),=−+T xxxx55316205( ).=−+………………………… Таким образом, T xn( ) действительно являются многочленами n-й степени.2. Старший член многочлена Txn+1( ) получается из старшего члена многочлена T xn( ) умножением на 2x и, следовательно, старший член в T xn( )при n>0 есть 21nnx−.3. На основе формулы (5.1) имеем, что T xнаn( )[ , ]≤−11 1. (5.3)4. Из уравненияT xnxn( ) cos( arccos )=⋅=0 получаем, чтоxinini=+=−cos(),, , ,...,,π2120 1 21 нули T xn( ), т. е. T xn( ) имеет n различных корней на [ , ]−1 1.