Дифференциальная геометрия

Например!», для соирикосновегия нулевого порядка необходимо одно yciOBie Ф (ty~0~ для перваго порядка—два: Ф ( О - О , Ф1 if)—0,.,, для, /1-го—(w+i) условш (12). § 28. Разсмотримъ частный видъ этихъ усдотй, когда две кри-выя заданы уравнениями: l)y = f{x) и 2) y^f](x). Въ этомъ случае прежнее F (х, у) — 0 заменяется черезъ у—f (а?)=0; введемъ кроме того повое переменное t при условш, что # = i f , y=f (#), и тогда совокупность двухъ поеледиихъ ур—Ш заме-нитъ собою совокупность прежнихъ х=ъх (t) и у—я» »0, такъ что *=?i ( 0 ^ , y = ?s (0=Л (0, " ^ [ ? , СО, ?s (01=* (0 = / (t)-fi (0=0, откуда: Ф' ( 0= / Ч О - Л (f)=0, </»» (<)=/" ( Q - y ^ . . . '«) («) f>0 Итакъ, въ этомъ случае для прикосновешя я-го порядка необхо­димо: 00 0 0 / Ч ^ ^ Г / OOi f te)~fi(p), • • • / 4 # ) = /iO*0> такъ какъ * = Тотъ же результатъ получимъ, разсматривая этотъ случай отдельно. [ствнтельно, положимъ, что (рис. 13 а) точки Q (хп у , ) , Q1 (xi, Vt + ?)i « = 0, лежать всегда на одной и той же ор-динатт (§ 25) и имеютъ, следовательно, одну и ту же абсциссу Xf=x^dx, Тогда, очевидно, разетояме QQ' ])авно будетъ разности ординатъ этихъ точекъ. Такъ какъ у 1 = /' [xi), yt + [i = /) (#/), a = a? 4- tte, то QQ^Kxy-M+dx If/ ( * W 0*0] + f n I/'" W - / - (*)] + • • • ( n + l ) w + 1 ! Q'Q должно быть величиной (я+1)-го порядка, почему все члены пра­вой части последияго равенства до ( н + 1 ) го должны пропасть, а такъ какъ dx н е = 0 , то необходимо, чтобы ft(x)-—f[x)=\), 00 00 fXx)-f (^1=0, / / (а?;-А«)=0,../Ч«)-Л(я?)=0, но /1( ^ ; ) - - / ' ^ ) н е = 0 или р% (x)=f (я), . . ftM (ж), что имели и раньше.