Введение в теорию функций действительного переменного

c меньшей и уже наилучшей константой 2p 1) . Следовательно, | f + g |p G 2p( | f |p + | g |p) , а потому f + g £ L p ( E ) . Таким образом, Lp действительно есть линейное пространство. Определим на пространстве Lp(E) функционал If I P = If ILP(E) = ( ^ | f ( x ) !pd x ) , f £ L p ( E ) . (4.1) Нам предстоит убедиться, что этот функционал обладает по¬чти всеми свойствами нормы. Напомним, что такой вопрос об¬суждался ранее в § 3.5 д л я функционала (3.52) на пространстве L ( E ) = L1( E ) , т.е. д л я функционала (4.1) при p = 1. При всех p, 1 G p < то, функционал (4.1) обладает следу­ющими свойствами: 1) всегда | f |p G 0 и If I I P = 0 - f = 0 п. в. на E ; (4.2) 2) д л я f £ Lp( E ) и a £ R имеет место равенство |a f |P = |a| |f |P; 3) д л я функций f, g £ L p ( E ) справедливо неравенство If + g|p G | f |p + | g | p . (4.3) Первые два свойства достаточно очевидны. Свойство 3 бу¬дет доказано ниже в теореме 4.2, неравенство (4.3) называется неравенством Минковского для интегралов. Перечисленные свойства показывают, что функцио¬нал (4.1), вообще говоря, не является нормой на простран¬стве Lp( E ) . Проблема заключается лишь в свойстве (4.2), ибо оно означает, что функционал (4.1) обращается в нуль на ши¬роком классе функций, равных нулю почти всюду, а не только на функции f = 0. Тем не менее относительно функционала (4.1) говорят, что он является нормой на пространстве L p ( E ) ; однако всегда нужно помнить о свойстве (4.2). 145