Математические методы физики

27 Гамильтона , существует связь, определяющая переход от одного метода к другому. Эта связь выражена преобразованием Лежандра и состоит в следующем: Изменение некоторой величены , зависящей от независимой переменной , определяется производной /. Если величина эффективнее характеризует процесс, то целесообразно в качестве независимой переменной выбрать её, определив , что эквивалентно решению уравнения ∂, / ∂0,,, после чего принимаем ,/. Теперь процесс выражен зависимостью не , а . Обратное преобразование Лежандра определяется уравнением /, или ∂, / ∂0,,. Прямое и обратное преобразования Лежандра симметричны. Эти преобразования эквивалентны достижения экстремума функций , или , при варьировании исключаемой величины. В случае связи методов Лагранжа и Гамильтона ,,,∂∂; ,,,∂∂. Преобразование Лежандра используется и в других разделах физики. В термодинамике состояние системы можно определить значением внутренней энергии в зависимости от энтропии и объема: ,. Тогда температура и давление выражаются соотношениями ∂ / ∂ ,∂ / ∂. Свободная энергия ,, энтальпия ,, потенциал Гиббса , определяются преобразованиями Лежандра. Каждая из этих величин: , , , является термодинамичесим потенциалом в своих переменных, то есть через них и их производные можно выразить все другие термодинамические величины этой системы, с