Неевклидова геометрия

34 В В Е Д Е Н И Е В П Р О Е К Т И В Н У Ю ГЕОМЕТРИЮ проективных преобразований посредством требования переводить бесконечно удаленную область самое в себя. Л е г к о видеть далее, что центрально-аффинные преобразования в свою очередь образуют п о д г р у п п у г р у п п ы аффинных преобразований. Эта г р у п п а может быть охарактеризована тем, что ее преобразования переводят начало координат само в себя. В. Знак определителя подстановки. Определитель подстановки проективного преобразования может быть как положительным, т а к и отрицательным. При четном п, следовательно, в частности в с л у ч а е плоскости, это р а з л и ч и е не существенно, потому что в этом с л у ч а е определитель меняет знак, если мы помножим все постоянные c*x н а— 1 ; само же проективное преобразование от этого не изменится, так к а к дело идет только об отношениях переменных х%. Следовательно, п р и четном п мы можем одно и то ж е проективное преобразование с одинаковым правом изобра­зить к а к подстановкой с положительным определителем, так и с отрицательным. Напротив, при нечетном п (следовательно, в частности в с л у ч а я х прямой и пространства) определитель проективного преобразования имеет однозначно-определенный знак, т а к что нам п р и х о д и т с я д е л а т ь р а з л и ч и е между проек­тивными преобразованиями с положительным определителем и с отрицательным. На прямой линии и в пространстве проек­тивные преобразования распадаются на два различных семейства, которые нельзя непрерывно перевести одно в другое; напротив, в случае плоскости проективные преобразования образуют одно-связное многообразие, так к а к в этом с л у ч а е мы можем в с я к у ю данную подстановку непрерывно перевести в тождественную подстановку так, чтобы определитель при этом никогда не обратился в н у л ь . Геометрически это р а з л и ч и е означает следующее. Проективное преобразование на прямой л и н и и либо изменяет н а п р а в л е н и е всех отрезков на обратное, либо сохраня...