Устойчивость и оптимальная стабилизация систем дифференциальных уравнений
Приведено понятие устойчивости по Ляпунову. Сформулированы и доказаны основные теоремы об устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости. Дана геометрическая интерпретация метода функций Ляпунова. Отдельно исследованы вопросы устойчивости для линейных систем. Рассмотрены задачи стабилизации. Исследована задача устойчивости и стабилизации консервативных механических систем. Изучены асимптотические свойства разностных систем. Приведены примеры применения разностных систем при исследовании свойств дифференциальных уравнений. Приведена задача стабилизации разностных систем. Рассмотрены иллюстрирующие примеры.Учебное пособие предназначено для студентов направления — Прикладная математика, а также для студентов, аспирантов и специалистов, интересующихся задачами теории устойчивости.
Содержание
Содержание книги "Устойчивость и оптимальная стабилизация систем дифференциальных уравнений "
Отрывок из книги
Рассмотрим теперь траекторииy(t;t0, y0)иy(t;t0, y(ki)), выходящие приt=t0соответственно из точекy∗иy(ki), гдеy(ki)— одна из точек последова-тельности, соответствующаяt=tki. В связи с тем, что по условию теоремытраекторияy(t;t0, y∗)приt0≤t <∞не может лежать целиком на множе-ствеM,то должны существовать такие интервалы времени, когда˙V <0вдоль этой траектории. Следовательно, можно указать такой момент вре-мениT > t0, в который выполняется условиеV(y(T;t0, y∗))< V∗. Так какпоследовательностьy(t∗;t0, y0)сходится к точкеy∗, то в силу непрерывнойзависимости решений от начальных данных можно записатьy(T;t0, y∗)−y(T;t0, y(ki))< δпри всехki> N(δ), каково бы ни было наперед заданное числоδ >0.Следовательно,limV(y(T;t0, y(ki)))< V∗приki→ ∞.(1.19)Исходная система (1.15) автономна и поэтому ее решения обладают груп-повым свойствомy(t;t0, y0)≡y(t+τ;t0+τ, y0). Кроме того, в силу един-ственности решения, имеемy(t;τ, y(τ;t0, y0)) =y(t;t0, y0). Отсюда получаемy(T;t0, y(ki)) =y(T+tki;t0+tki, y(tki;t0, y0)) =y(T+tki;t0, y0).(1.20)Подставляя выражение (1.20) в (1.19), получаемlimV(y(T+tki;t0, y0))< V∗приki→ ∞.Это неравенство противоречит (1.18), поэтому допущение, чтоV∗= 0неверно, следовательно,V∗= 0иlimV(y(t;t0, y0)) = 0приt→ ∞.Отсюда вследствие знакоопределенностиV(y)получаемlimt→∞y(t;t0, y0)= 0,что и требовалось доказать.Можно аналогичным образом сформулировать критерий неустойчиво-сти, который является обобщением соответствующей теоремы Ляпунова [11,c. 84].Теорема 8.Если для дифференциальных уравнений возмущенного движе-ния можно найти функциюV(x), производная которой по времени в силусистемы удовлетворяет в области(1.16)следующим условиям:1) ˙V >0внеM;16
С книгой "Устойчивость и оптимальная стабилизация систем дифференциальных уравнений" читают
Внимание!
При обнаружении неточностей или ошибок в описании книги "Устойчивость и оптимальная стабилизация систем дифференциальных уравнений (автор Борис Гребенщиков, Надежда Гредасова, Андрей Ложников, Оксана Матвийчук, Александр Сесекин)", просим Вас отправить сообщение на почту help@directmedia.ru. Благодарим!
и мы свяжемся с вами в течение 15 минут
за оставленную заявку