Лекции по математическому анализу

теоремы 2.1 и определения неопределённого интеграла справедливо равенство (5.4). Теорема доказана. Сравнивая (5.3) и (5.4), имеем при х = (p(t) J f (x)dx = J f (<p(t))<p'(t)dt. (5.5) Следовательно, в интеграле J f (x)dx можно перейти от пере­менной х к переменной t по формуле (5.5) с применением подста­новки х = <~p(t). Возможность вычисления полученного интеграла в значительной степени зависит от удачи в выборе подстановки. Замечание 5.1. На практике часто используют подстановку t = ф(х), предполагая, что функция t = ф(х) имеет обратную функ­цию х = </?(t). Обоснование этого способа состоит в том, что вме­сто подстановки t = ф(х) можно сразу же применить подстановку х = <~p(t), для которой доказательство проведено. П р и м е р 5.5. 1) j sin 7хdх^х = 1 t,dх = 1 dt^j = — J sintdt = —-cos t + c = —1 cos 7х + c. 7 7 ч (* (doc (* (doc 1 (* (doc , , (х = at, dх = adt) = а2 + х2 J a2+ ( f )2) a2 J 1 + (x)2 1 adt 1 dt 1 1 х / - = - I - = -arctqt + c =— arctq—+ c (a = 0). a2 J 1 +12 a J 1 + t2 a a a x (* (doc (* (doc 1 (* (doc 4 V a ^2 J v/a2( - - ( f )2) lal J ч Д - Т ! )2 1 adt a dt (х = at,dх = adt) = —- . = —- . = ^—arcsint + c = Ta-arcsin^ + c = arcsin^- + c (a = 0). a a a a 17