Системно-структурная модель преподавания темы "Теория делимости"

Задача № 4. Докажите или опровергните следующее утверждение «Если сумма двух слагаемых делится на некоторое число, то и каждое слагаемое делится на это число». Решение. Утверждение не верно, так как, например, (1+5):3, но 1:3 и 5:3. Задача № 5. Найдите частные и остатки при делении чисел 3, 5, 10, 35, 100, 1750 на число 7. Решение. Воспользуемся определением деления натуральных чисел с остатком: 3:7 = 3=7-0+3 == q=0, г = 3 ; 5:7 == 5=7-0+5 = q=0, г = 5 ; 10:7 == 10=7-1+3 = q=l,r=3; 35:7 = 35=7-5+0 == q=5, r=0. В случае, когда делимое многозначное число, можно осуществлять деление углом: 1 0 0 7 7 _ 1 7 5 0 1 4 1 4 7 2 5 0 3 0 _ 3 5 2 8 3 5 2 0 100:7 == 100=7-14+2 == q=U, г = 2 ; 1750:7 == 1750=7-250+0 == q=250, г = 0 . Задача № 6. Докажите, что если натуральные числа а иЪ при делении на 1 дают один и тот же остаток, то разность квадратов эти чисел делится на 7. Решение. Из условия задачи следует, что числа а и Ъ имеют следующие представления: а = Iql + г, Ъ = Iq2 + г. Преобразуем разность а2 — b2. а2 -Ъ2 = {Jq1 + г)2 — {Iq2 + г)2 = 4 9 ^ + IAq1T + г2 — 4 9 ^ — —14^2Г — г2 = 49{q2 — q^) + 14{qir — ^ r ) . К а ж д о е слагаемое в правой части последнего равенства делится на 7. Следовательно, и вся сумма делится на 7. Значит {а2 — b2) : 7, что и требовалось доказать. Задачи д л я р е ш е н и я на практическом занятии: 1.1. Пользуясь определением отношения делимости, докажите, что 1) число 9 является делителем числа 72; 2) число 7 не является делителем числа 65; 3) число 15 является делителем числа 60 и не является делителем числа 70. 25