Теория эллиптических интегралов и эллиптических функций

XIизъ осей координата и встречающая площадь S , пересекаетъ эту кривую С (контуръ) только въ двухъ точкахъ. Составимъ при помо­щи этихъ функцШ такой двойной ивт^гралъ распространенный на всю площадь S :Т =ду Jdxdy(1)и покажемъ, что онъ можетъ быть лреобразованъ въ простой, взятый по контуру (С) этой площади въ положительномъ направлены.Преобразуемъ сперва первый членъ, т. е.(S)Вслйдствю сд4ланны хъ нами предполож ен^ насчетъ функций Ф Фг , величина этого интеграла независитъ отъ порядка суммировашя его элементоаъ, а потому мы можемъ начать интегрирована сперва по х . Означая чрезъ х0 и X значешя лерем4нной х въ точкахъ встр4чи кон­тура С съ прямою паралельиою оси х , причемъ принимаемъ алгебраи­чески х 0 < X , мы будемъ имЬть:j -дФ~ У) dx = < l> (X ,x )-(x 0,x ), (3)г д е х0 и X зависятъ уж е только отъ у. Помножая о б е части этого равенства на dy и интегрируя по у отъ у 0 до Т , г д е у 0 наименьшее алгебраически, a Y наибольшее изъ значенш у на всемъ контуре, мы будемъ иметь:f [ dxchj = f ф(Х' У) &У —J Vo J Хо 0Х J VoY r*yQФ(Х, у) dy + \ Ф(х0, у) d y .»o J Г >Здесь левая часть представляетъ распространенный на площадь S интегралъ (2); вторая часть интегралъ по контуру (С ) взятый въ по­ложительномъ направлены. Действительно, въ первомъ интеграле мы идемъ отъ самой ниж ней точки контура по его стороне вогнутой отво-<J У оф{Х0, у) dy =(4)