Дифференциальное исчисление функции одной переменной

10 6. Интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции и точки экстремума Если функция ( )xfy= на интервале ( )ba; монотонно возрастает, то ее производная первого порядка ( )0≥′xf; если функция ( )xfy= на интервале ( )ba; монотонно убывает, то ( )0≤′xf. Поясним связь между знаком производной и возрастанием (убыванием) функции геометрически. Если функция на интервале ( )ba; монотонно возрастает, то касательная образует острый угол с положительным направлением оси OX и ее угловой коэффициент (а значит и первая производная функции) будет положительной ( )()0>′=′xfy. Возьмем точки ()222;yxM (рис. 20) и ()444;yxM (рис. 21), и проведем касательные в этих точках и вычислим соответствующие им угловые коэффициенты. Если функция на интервале ( )ba; монотонно убывает, то касательная образует тупой угол с положительным направлением оси OX и ее угловой коэффициент (а значит и первая производная функции) будет отрицательной ( )()0<′=′xfy (рис. 22, 23). Вычислим угловые коэффициенты касательных в точках ()222;yxM и ()444;yxM. Следует заметить, что у монотонной функции могут существовать точки, в которых ( )0=′xf. Точками экстремума называются точки максимума и минимума. Рис. 20 Рис. 21 Рис. 22 Рис. 23