Математика и ее значение для человечества

Признание этого положения за непосредственно созерцаемую истину большинством людей, знакомых с началами геометрии, можно об'яснить только известного рода гипнозом, внушением, которое по­степенно внедряется в уме Шодей как привычка считать, что они видят то, что видеть нельзя. Не даром все великие умы и истинные геометры, незараженные школьными предрассудками, в течение двух тысяч лет изощряли все свое остроумие, чтобы доказать это полоясение, вывести его из других более очевидных аксиом. Они отчетливо понимали неочевидность этого предлоясения. Это предложение можно, как известно, легко вывести из других аксиом геометрии, которые кажутся несравненно более очевидными, стоит только принять в расчет так называемую X I аксиому Эвклида (или, по другим вариантам, его V постулат). Последнюю мояшо формулировать весьма различно. Мы выразим ее так: перпендикуляр и наклонная к одной и той ясе прямой, пере­секающие ее в двух различных точках, необходимо сами пересекаются. В этой форме аксиома представляется' как будто бы более доступ­ной непосредственному созерцанию. Но это далеко не так. Мы отлично знаем теперь, что поле нашего зрения весьма ограничено. Вообразим перпендикуляр и наклонную, угол которой значительно отличается от прямого. Мы действительно увидим в воображаемом нами чертеже точку пересечения этих двух линий. Будем мысленно поворачивать наклонную около точки ее пере­сечения с третьей прямой, приближая угол наклона к прямому. Во-первых, наступит момент, когда мы нашим воззрением никоим образом не будем в состоянии решить, сделалась ли наклонная действительно перпендикулярной к третьей прямой, или нам кажется так, ибо глаз наш может различать между ( собою углы лишь большие известного весьма малого размера. Раз угол между двумя прямыми сделается равным или меньшим этого предела, но заведомо неравным еще нулю, наша спо­собность различать отдельно две линии, пересекающиеся под таким углом, исчезает: обе линии сливаются в одну. Это подтверждается прямым опытом Вундт...