Геометрическая теория функций комплексной переменной

Г Л А В А В Т О Р А Я . ОСНОВЫ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. В теории функций вещественной переменной х исходят обыкновенно сперва из самого общего понятия функции. Рассматривают некоторый промежуток / независимой пере­менной х и с о п о с т а в л я ю т каждому значению х из этого промежутка / по какому-нибудь закону однозначным образом значение величины и. Тогда величина ц ~ / ( * ) будет на­зываться функцией от х в этом промежутке. Такое для применении слишком о б щ е е понятие функции существенно ограничивают потом, присоединяя добавочные условия и прежде всего условие, чтобы функция / (л) была н е ­прерывна или чтоб.л она была дифференцируемой. Только ограничиваясь такими, более узкими, классами функций, можно построить анализ в области вещественной перемен­ной и в частности д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е и интегральное исчисления. В о с н о в е теории функций комплексной перемен­ной или, говоря точнее, теории аналитических функций лежит задача о расширении понятия функции на область комплексной переменной z = х-\- iy и о таком ограничении этого понятия о функции комплексной переменной, чтобы в новую область функций можно было бы перенести основные операции дифференциального и интегрального исчислений. Можно при этом исходить из следующего самого общего понятия комплексной функции С = fix) от комплексной переменной г. Если G есть область в числовой плоскости и если каждой точке z — x-\-iy этой области G сопоставлено каким нибудь способом комплексное число С — и-j-ft», тс С = _/ (z) называется комплексной функцией от г в области G Такое определение говорит т о л ь к о , что каждой паре веще' ственных чисел х, у (такой, что точка х, у принадлежит 31