Методы математической физики

§ 2 Линейные преобразования С линейным Параметром 17 Заметим, между прочим, что только что произведенная нами оценка показывает, что мы можем во всякий повсюду сходящийся степенной со ряд / ( r ) = Ecv *4 подставить вместо х произвольную матрицу Л и по-со лучнть таким путем новую матрицу / ( Л ) ==£с, ' 4 ' - В частности, слсдо-* = i вательно, всегда существует матрица еА. Полученное нами выражение для" R или Т сходится только при до­статочно малых | А [ . Между тем формула (15) предыдущего параграфа дает нам выражение для обратной формы или матрицы R = {E— Х Г )- 1, имеющее смысл и вне области сходимости ряда. В самом деле, отождествляя форму Е— Х Г с формой Л ( ы , х), получаем для обратной формы выражение: Щи, у;\) = - *{" ' уГк) 4(A) а для резольвенты Т выражение: причем 4 ( в , у; Х) = О и, . . . ал У% Ц | •-• — у„ — Unl...\ — Х гЯ 1 есть целая рациональная функция от А степени л — 1 , а 1 — " и — Х ^1 3 . . . — Х /1 Я * ' a t ' " 'га • • • * 'гя — А/ - X /n 2. . . l - U „n целая рациональная функция степени я . Корни многочлена Д(А) обра­зуют, следовательно, определенный выше спектр формы Г, т. е. сово­купность тех значений X, для которых форма Е — ХГ не имеет обрат­ной формы. Тогда £ 1 # 1 = £ 1 £ $ < ЪЧ I < £ £ 1 4 2 1 1 < V I ? = l 9 = 1 " = 1 9 = 1 а = 1 л 0 = 1 9 = 1 J - 1 Так как неравенство справедливо при v== 1, то тем самым оно доказано для любого индекса v. 2 Курвщ-Гадьбврт.