Основы вариационного исчисления

3 0 ЭЛЕМЕНТЫ ft-MEPHOJt ГЕОМЕТРИИ [ГЛ . I прямой L, соответствующую ладанному значению параметра t , то х есть длина отрезка прямой ВВТ, заключенного между точкой В н точкой В„ Задача 4 . Определить угол щ% между вектором а (аг, аь..., ап) и осьюхг Обозначим через А(щ> а% а„) конец вектора ОЛ — а. Уравнение пря­мой, на которой лежит этот вектор, будет: xt=*a£ ( / = ] , %. л ) (точки О и Л отвечаю! соответственно значениям параметров 0 и ]). В силу формулы (41): c o s y ^ - - — й% (43) Проекции. Допустим, что в пространстве дана точка А и прямая Ортогональной проекцией или просто проекцией точки Л на пря­мую Z, называется точка пересечения прямой с линейным многообразием ( л — 1 ) - г о измерения, проходящего через точку А и ортогонального к нримоя L, —> Допустим теперь, что дан вектор а — АВ и дана ось L, т. е. пря­мая, снабженная направлением. Пусть Av В^ суть соответственно проек¬ции точек Л , В на прямую L\ проекцией вектора АВ на ось £: — * n pz Л/? мы назовем длину отрезка AlBv взятую со знаком плюс или минус в зависимости от того, совпадает ли направление вектора А1В1 с выбранным направлением на прямой L или ему противоположно* Отметим следующую важную формулу; п рАа — J a - c o s O L , а ) . ( 4 4 ) В самом деле, обозначая через с, и ci-\-ki координаты точек А и Ву через cl и с{ -\~k{—координаты их проекций А: и Вх на L. мы получаем уравнение прямой, содержащей вектор а: ^ = + V C = l i 2 , . . . , л), и уравнение прямой Z,: Равенство ( 4 4 ) , которое нам нужно доказать, примет вид Ж2 = 2 *А' (45> Для доказательства этого равенства составим уравнения многообразий,, ортогональных к L и проходящих соответственно через точки Л и Б: 2 * / (*, — <У = 0, ^ V (ЯГ, - — **) = 0 (/ = 1, 2, • - - > я)-Так как точки Л1 (с/) и В1(с/ -\-/г/) принадлежат соответственно этим многообразиям, то 2 *«' («,—О = о, 2 А/ (*/+ А/ — - = о.