О приложениях теории алгебраических форм к интегрированию линейных дифференциальных уравнений

— 14 — 13. При составлеши дифференщальнаго уравнешя, которому удовлетво­ряетъ X, мы не пользовались нитвмъ, что могло бы ближе охарактери­зовать форму [0, 0, ...0]. В с л ^ д с т е этого, мы и получили для I ура­внение высокаго порядка А", уравнеше, которому удовлетворяетъ значе­ше в с я к о й о д н о р о д н о й ф у н к ц щ с т е п е н и п отъ интеграловъ ура­внения (1). Между тъмъ ясно, что можно составить дифференщальное уравнеше порядка не выше т1, которому удовлетворяетъ [0, 0....0]. Действительно, составляя производныя отъ * = Г ( У » • 0 ° ) и исключая изъ этихъ производныхъ при помощи уравпемя ( I ) rib про­изводныя отъ у , , //.,,...ут, порядокъ которыхъ выше т, мы получаемъ ра­венства, правыя части которыхъ зависать отъ т1 аргументовъ: '•Ут У', 9 * & т У Г '1 ) 11 (™ - 1) У1 •> • -У ' Соетавивъ все производныя отъ X до производной порядка вклю­чительно, мы получимъ, вместе съ уравнен1емъ (10), тг уравнешй, при помощи которыхъ можно составить для X, исключая т1 величинъ (13), не линейное дифферешцальное уравнеше, порядокъ котораго, вообще го­воря, т*. Последнее уравнеше зависитъ отъ вида формы [0. О,...ОД. Состав л е т е его по указанному методу чрезвычайно сложно и едва ли выполнимо вс.тЪдств1е этой сложности даже для формъ особенно простыхъ по ихъ виду. Мы, однако, составпмъ этп уравнешя для всехъ формъ, встречаю­щихся при нахождении алгебранческихъ интеграловъ лннеЙнаго уравне­ш я 2-го порядка. При этомъ мы не будемъ пользоваться только что изло­ж е н н ы м ' ! , iipie.MoMi,, Пап. весьма быстро приведетъ къ цъ.ш другой i i p i e M i . . вытекаюи^й изъ разсуждетй последующих! параграфовъ. Въ ближаншихъ параграфахъ мы покажемъ, что къ Л ' уравнешямъ (ж) пар. 10 можно прибавить, когда задана форма [0, 0, ... 0], несколько з а ­висимостей, связывающих! фупкщи [ яр я2,...ат„{]. Эти зависимости, если X значеше формы f{yti у2,-.-ут, а) общаго вида степени «, и если частные интегралы уравнешя (I) не связаны однородной зависимостью степени...