Основы математической физики

§ 3. О П Р Е Д Е Л И Т Е Л Ь Ф Р Е Д Г О Л Ь М А Положим дано уравнение (10) ф ) = XI K(x,y)<p(y) dy + f (x); положим (11) D(X) = 1 - XJ K(t1,h) dt1 + 1X^ /J к ( ^ ' i2 ) d*1d*2 + - + 5 1 . . . I K ( ^ t2' ". , tn )dt,dt2 ...dtn + 1 • 2• • • П J J \t1,t2, . . . , tn a a t1 , t2, . . . , tn t1 , t2, . . . , tn П о л ь з у я с ь неравенством (9) з а к л ю ч а е м , ч т о ч л е н ы [этого р я д а ограничены:] t1 , t2, . . . , tn ( t1 t2 . . . tn < n 2 An ... dtxdt2 ...dtn = n 2 An(b - a)n. aa В с л е д с т в и е этого ч л е н ы р я д а (11) абсолютно меньше членов р я д а 1+ X A(b - a) + ^ A2(b - a)2 + ... + ^ Annn (b - a)n + .... 1 1*2 1*2** * 7~Ь Применяя признак Д а л а м б е р а к о т ы с к и в а я предел отношения последующего чле¬н а к п р е д ы д у щ е м у находим: \ X \n+1 An+1(b - a)n+1(n +1) ^ 1 • 2 ••• n Hin • • = n^oo 1 • 2 ••• n • (n +1) An(b - a)nn 2 \ X \n n Urn \X\ A(b - a) v , 4 = 0, n+1 ( Л1 i т а к к а к 1 + имеет предел e 2, а знаменатель дроби бесконечно велик при n n — 0 0 . Следовательно, р я д (11) сходится при в с е х значениях X и сумма его целая ф у н к ц и я . Ф у н к ц и ю D(X) н а з ы в а ю т определителем Фредгольма я д р а K(x,y). 26