Основные дифференциальные уравнения математической физики

§ 2. КАСКАДНЫЙ М Е Т О Д ЛАПЛАСА 63 Интегрируя последнее уравнение, получим: * = e - ~ { - M * ) + JT,0 4 y } -Заменив здесь квадратуру J* ср (у) dy функцией со (у), окончательно найдем общий интеграл ур-ния (7): * = * - « > [ Ф ( * ) + » О 0 ] , (Ю) где ty(x) и <о(у) — совершенно произвольные функции от х н у . § 2. Каскадный м е т о д Лапласа. Предположим теперь, что ни один из инвариантов уравнения д*г , дг , , дг , aHZ + b^ + cz= ° (Е) дхду 1 дх ду не равен нулю. Для этого • случая Лаплас указал следующий способ, с помощью которого можно иногда проинтегрировать ур-ние (Е) в квадратурах. Преобразуем ур-ние (Е) подстановкой и приведем его таким образом к виду: § + Ьг,=Нг. (12) Исключим переменную г из ур-ний (11) и (12), в результате чего получим линейное уравнение: д9г. . дг. . , дг. . где для краткости положено: <31gA дЬ . dlgh , , L ai = a - — ; b1 = b; c ^ - - b - ± - - h + ab. Это уравнение имеет следующие инварианты: 1 дхду kl = h. Предположим теперь, что инвариант А, оказывается равным нулю; тогда ур-ние (Е,) интегрируется, как было показано, в квадратурах, после чего из соотношения (12) получается и общий интеграл ур-ния (Е). Если же инвариант А, не равен нулю, то следует преобразовать ур-ние (Е) с, помощью подстановки г _1== ^ Ь г (13) ,3 Кошляков — 2997