Электродинамика

30 Основы ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Каждому тензору 2Т с компонентами Тік можно сопоставить другой 2Т , компоненты которого определяются условием ?* = ТИ. (36) Это условие означает, что компоненты 2Т получаются из схемы компонент тензора 2Т ^12» 7*18 ^22» ^23 ^31> ^£2» путем перестановки строки и столбцов. Легко видеть, что условие (36) инвариантно относительно преобразования координат, т. е. что новые компоненты соответствующих тензоров, полученные из Тік и І\к по формуле (34), удовлетворяют тому же самому условию ^ік ~ ^кЧ' 9 Это показывает, что величины Тік действительно образуют тензор. Этот тензор называется т р а н с п о н и р о в а н н ы м отно­сительно 2Т . Отметим в особенности следующие частные случаи: 1. Ткі=Тік. Тензор *Т называется с и м м е т р и ч е с к и м и тождественен с транспонированным тензором Ч. Число р а з ­л и ч н ы х компонент 2Т равно 6. 2. Ткі = — Тік. Тензор 2Т называется к о с о с и м м е т р и ч е -с к и м или а н т и с и м м е т р и ч е с к и м и равен своему транспо­нированному, взятому с обратным знаком (2Т +2Т = 0>). Так как в этом случае диагональные компоненты т. е. Т119 Т22, 7 ^ , исчезают, то количество независимых друг от друга скалярных величин, определяющих 2Т , сводится к трем, именно ТТі = — Г3 2 = 7\ ; Г3 1 = — Г1 3 = То; Т12 = — Т21 = Тѣ. (36а) Отсюда следует, что антисимметрический тензор 2Т должен быть совершенно эквивалентен некоторому вектору с компонен­тами 7\, Г2, Г3. Действительно, легко доказать, что величины (36а) можно считать с одинаковы л успехом как дивариантными, так и моно­вариантными скалярами. Антисимметрический тензор очевидно всегда может быть построен посредством д в у х различных век­торов А и В, компоненты которых в п а р о й координатной си­стеме удовлетворяют уравнениям АгВк АкВі = Тік = Thi. Но левая часть этих формул представляет собою не что иное, как компоненты вектора =tz А X В, т. е. внешнего произве­дения векторов А и В. Таким образом, скаляры Тѵ Т2...