Читать фрагмент

книга

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Автор: К. Рыбаков, А. Якимова, Андрей Пантелеев

Изложены аналитические и приближенно-аналитические методы и алгоритмы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Применение каждого метода продемонстрировано на решении типовых и нетиповых примеров, охватывающих различные приложения к задачам механики, экономики, расчета электрических цепей и биологических систем. Особое внимание уделено специфике решения задач анализа выходных процессов и устойчивости одно- и многомерных динамических систем, исследуемых в теории управления.Для студентов высших учебных заведений, получающих образование по направлению (специальности) "Прикладная математика", а также по направлениям (специальностям) естественных наук, техники и технологии, информатики и экономики на квалификацию специалиста, степени бакалавра и магистра.

Форматы: PDF

Серия: Новая университетская библиотека

Издательство: Логос

Год: 2010

Место издания: Москва

ISBN: 978-5-98704-465-0

Страниц: 384

Артикул: 19534

Электронная книга

440 ₽

Купить и скачать

Содержание

Содержание книги "Обыкновенные дифференциальные уравнения : практический курс"

Введение

Глава 1. Общие теоретические положения

1.1. Основные определения

1.2. Основные понятия, связанные с исследованием и решением дифференциальных уравнений

Глава 2. Дифференциальные уравнения первого порядка

2.1. Уравнения с разделяющимися переменными

2.2. Однородные уравнения

2.3. Линейные уравнения

2.4. Уравнение Риккати

2.5. Уравнения в полных дифференциалах

2.6. Уравнения, не разрешенные относительно производной

2.7. Уравнения высшего порядка, приводящиеся к уравнениям первого порядка. Понижение порядка дифференциальных уравнений

2.8. Простейшие краевые задачи

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

3.1. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

3.2. Решение задачи Коши

3.3. Анализ выходных процессов

3.4. Анализ устойчивости

3.5. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка с переменными коэффициентами

Глава 4. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами

4.1. Методы нахождения и исследования общего решения однородной системы

4.2. Методы нахождения общего решения неоднородных систем 212

4.3. Решение задачи Коши

4.4. Анализ выходных процессов

4.5. Анализ устойчивости линейных многомерных стационарных динамических систем

Глава 5. Применение операционного исчисления

5.1. Преобразование Лапласа

5.2. Применение преобразования Лапласа

Глава 6. Анализ поведения динамических систем на фазовой плоскости

6.1. Динамические системы и их исследование в фазовом пространстве. Основные положения

6.2. Анализ поведения линейных динамических систем второго порядка на фазовой плоскости

6.3. Анализ поведения нелинейных автономных динамических систем второго порядка

Глава 7. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений и систем

7.1. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

7.2. Метод последовательных приближений

7.3. Спектральный метод

7.4. Метод Чаплыгина

7.5. Метод Ньютона–Канторовича

Предметный указатель

Список литературы

Отрывок из книги

2.1. Уравнения с разделяющимися переменными43Пример 2.3.Найти все решения дифференциального уравненияx(t) + sint+x(t)= sint−x(t).Представим уравнение в виде (2.1), т.е.x(t) = sin(t−x(t))−−sin(t+x(t)), и разложим правую часть на множители. Такое преобра-зование приводит к уравнению с разделяющимися переменными:x(t) ==−2 sinx(t) cost. Полагаяsinx= 0, разделяем переменные и интегриру-ем обе части полученного равенства:dx2 sinx=−costdt.Первообразная слева определяется при помощи универсальной тригоно-метрической подстановкиtgx2=uили следующим образом:dx2 sinx=dx22 sinx2cosx2=dtgx22 tgx2=12lntgx2.Решение исходного уравнения получено в виде12lntgx2+ sint=12C.«Потерянные» при разделении переменных решенияx=k(sinx= 0),k= 0,±1,±2, . . . ,являются частными, так как входят в полученную сово-купность приC=∞tgx2= eC−2 sint. Поэтому выражениеln|tgx2|++ 2 sint−C= 0задает общий интеграл исходного уравнения. Если по-ложитьC= lnC1, то полученное решение можно записать в видеtgx2==C1e−2 sint.Пример 2.4.Решить задачу Коши:x(t) = 3tx13(t),x(−1) =−1.Приx= 0разделяем переменные:dxx13= 3tdt.Интегрируя полученное равенство, находим семейство интегральных кри-вых:32x23=32t2+32C,илиx23=t2+C.При разделении переменных было «потеряно» решениеx(t) = 0, которое невходит в найденное семейство ни при каком значенииC, включая±∞, сле-довательно, это особое решение уравнения. Таким образом, решение урав-нения определяется равенствамиx2= (t2+C)3,x(t) = 0. Из начальногоусловияx(−1) =−1и уравнения семейства интегральных кривых нахо-дим, чтоC= 0, а значит, решение исходной задачи Кошиx(t) =t3(за-метим, что функцияx(t) =−t3не удовлетворяет начальному условию).

Внимание!
При обнаружении неточностей или ошибок в описании книги "Обыкновенные дифференциальные уравнения : практический курс (автор К. Рыбаков, А. Якимова, Андрей Пантелеев)", просим Вас отправить сообщение на почту help@directmedia.ru. Благодарим!