Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре

Читать фрагмент

книга

Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре

Представлены задачи по аналитической геометрии и линейной алгебре. Теоретические задачи, как правило, сопровождаются упражнениями различной трудности, способствующими самостоятельной проверке обучаемыми степени понимания ими новых определений и алгоритмов. Для студентов университетов и других высших учебных заведений, получающих образование по математическим направлениям и специальностям.

Форматы: PDF

Издательство: Логос

Год: 2005

Место издания: Москва

ISBN: 5-94010-375-8

Страниц: 368

Артикул: 19533

Электронная книга

350 ₽

Купить и скачать

Содержание

Содержание книги "Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре "

ПРЕДИСЛОВИЕ

Часть I. Аналитическая геометрия

Глава 1. Системы координат на плоскости и в пространстве

§ 1.1. Системы координат: первые задачи

§ 1.2. Полярные, сферические и цилиндрические системы координат

§ 1.3. Элементы векторной алгебры и аффинные системы координат

§ 1.4. Скалярное произведение

§ 1.5. Ориентация, векторное и смешанное произведения

§ 1.6. Скалярное, векторное и смешанное произведения в аффинной системе координат

Глава 2. Геометрические места точек, составление уравнений кривых на плоскости

§ 2.1. Эллипс, гипербола, парабола и их простейшие свойства

§ 2.2. Составление уравнений кривых на плоскости

Глава 3. Прямые на плоскости

§ 3.1. Составление уравнения прямой по различным способам ее задания

§ 3.2. Взаимное расположение прямых на плоскости. Пучки прямых

§ 3.3. Линейные неравенства

§ 3.4. Метрические задачи на прямую: перпендикуляры, углы и расстояния

§ 3.5. Метрические задачи на плоскости в произвольной аффинной системе координат

Прямые и плоскости в пространстве

§ 4.1. Составление уравнений прямых и плоскостей

§ 4.2. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Пучки и связки плоскостей. Связки прямых

§ 4.3. Линейные неравенства в пространстве

§ 4.4. Метрические задачи в пространстве

§ 4.4. Метрические задачи в пространстве в произвольной аффинной системе координат

Глава 5. Аффинные и ортогональные замены координат

Глава 6. Кривые второго порядка

§ 6.1. Составление уравнений кривых второго порядка

§ 6.2. Нахождение вида и расположения линии второго порядка по уравнению

§ 6.3. Ортогональные инварианты линий второго порядка

§ 6.4. Аффинные типы линий второго порядка

§ 6.5. Касательные к линии второго порядка

§ 6.6. Диаметры, взаимно сопряженные, и асимптотические направления линий второго порядка

§ 6.7. Пучки и связки линий второго порядка

Глава 7. Поверхности второго порядка

§ 7.1. Составление уравнений поверхностей

§ 7.2. Простейшие свойства поверхностей второго порядка

§ 7.3. Приведение поверхности к каноническому виду

§ 7.4. Ортогональные инварианты поверхностей второго порядка

§ 7.5. Касательные и диаметральные плоскости. Прямолинейные образующие

§ 7.6. Плоские сечения поверхностей второго порядка

Глава 8. Аффинные и изометрические преобразования

§ 8.1. Аффинные преобразования плоскости

§ 8.2. Аффинные преобразования пространства

§ 8.3. Аффинные преобразования и линии второго порядка

§ 8.4. Изометрические преобразования плоскости и пространства

Глава 9. Проективная геометрия

§ 9.1. Проективная прямая

§ 9.2. Проективные преобразования прямой

§ 9.3. Проективная плоскость

§ 9.4. Проективные преобразования плоскости

§ 9.5. Линии второго порядка в проективных координатах

§ 9.6. Поляритет

Часть II. Линейная алгебра

Глава 10. Основные понятия линейной алгебры

§ 10.1. Векторное пространство, линейная независимость

§ 10.2. Базис, размерность, координаты

§ 10.3. Линейные подпространства и операции над ними

§ 10.4. Линейные функции и отображения

§ 10.5. Аффинные пространства

Глава 11. Операторы в линейных пространствах

§ 11.1. Матрица линейного оператора

§ 11.2. Ядро и образ линейного оператора. Инвариантные подпространства. Проекторы. Комплексификация и овеществление

§ 11.3. Подстановка линейного оператора в многочлен. Аннулирующие многочлены

§ 11.4. Собственные значения, собственные векторы

§ 11.5. Жорданова нормальная форма линейных операторов

§ 11.6. Подстановка оператора (матрицы) в функцию числового аргумента

§ 11.7. Нахождение инвариантных подпространств

Глава 12. Билинейные и квадратичные функции

§ 12.1. Общие сведения о билинейных и полуторалинейных функциях

§ 12.2. Симметрические и кососимметрические, эрмитовы и косоэрмитовы функции

§ 12.3. Приведение к каноническому виду

Глава 13. Пространства со скалярным произведением

§ 13.1. Элементарные свойства скалярного произведения

§ 13.2. Ортогональные системы векторов

§ 13.3. Матрица Грама. n-мерный объем

§ 13.4. Ортогональное дополнение

§ 13.5. Расстояния и углы

§ 13.6. Геометрия аффинных евклидовых пространств

§ 13.7. n-мерный куб и n-мерный симплекс

§ 13.8. Метод наименьших квадратов и интерполяция функций

Глава 14. Операторы в пространствах со скалярным произведением

§ 14.1. Операторы в евклидовом (эрмитовом) пространстве

§ 14.2. Операторы в псевдоевклидовых, эрмитовых, симплектических пространствах и в пространствах с общим скалярным произведением

Глава 15. Квадратичные функции и поверхности второго порядка

§ 15.1. Квадратичные функции в евклидовом пространстве

§ 15.2. Поверхности второго порядка

Глава 16. Тензоры

§ 16.1. Основные понятия

§ 16.2. Тензорные произведения пространств

§ 16.3. Симметрические и кососимметрические тензоры

§ 16.4. Тензоры в евклидовых и симплектических пространствах

§ 16.5. Операция Ходжа и евклидова структура

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

Отрывок из книги

§ 1.4. Скалярное произведение 25 2) сумма скалярных квадратов векторов одной пары равна сумме ска¬лярных квадратов другой пары, т.е. M A2 + M C2 = M B2 + M D 2. 1 0 3 . В треугольнике A B C точка D делит сторону A B в отношении A D : D B = А. Выразить длину отрезка C D через длины сторон треугольника и число А. 104. Доказать, что при любом расположении точек A B C D на плоско¬сти или в пространстве имеет место равенство ( B C , A D ) + ( C A , B D ) + + ( A B ,- -) ) = 0. 105. Доказать, что в правильном тетраэдре отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, является их общим перпендикуля¬ром. 106. Доказать, что если в тетраэдре A B C D ребро A B перпендику¬лярно C D , а A C перпендикулярно B D , то ребра A D и B C также пер¬пендикулярны. 107. Вычислить длину диагонали O D параллелепипеда, зная длины а = |OA|, b = |OB|, c = |OC| трех ребер, выходящих из той же вершины, и плоские углы а = Z B O C , в = ^ A O C , 7 = Z A O B между ними. 108. Вычислить скалярное произведение векторов a и b, заданных своими координатами, в каждом из нижеследующих случаев: 1) a = ( 3 , 5 , 7), b = ( - 2 , 6 , 1 ) ; 2) a = ( 3 , 0 , 1 ) , b = (3, - 2 , 4 ) ; 3) a = ( 2 , 5 , 1 ) , b = (3, - 2 , 4 ) . 109. Вычислить скалярное произведение векторов A B и A C : 1) A ( 2 , 3), B ( 3 , - 1 ) , C ( - 1 , 4 ) ; 2) A ( 1 , - 1 , 3), B ( 3 , 2 , 0), C ( - 1 , 4 , 1 ) . 110. Определить угол а м е ж д у двумя векторами a и b, заданными своими координатами, в каждом из нижеследующих случаев: 1) a = ( 8 , 4 , 1 ) , b = (2, - 2 , 1 ) ; 2) a = ( 2 , 5 , 4 ) , b = (6, 0, - 3 ) . 1 1 1 . Используя лишь свойства билинейности и симметричности, дока¬зать, что ортогональная проекция вектора a на направление вектора b (a, b) Ра в н а ТТГТл ' b-(b, b) 1 1 2 . Найти единичный вектор, имеющий то же направление, что и вектор a = ( - 8 , 4, 1). 113. Вычислить ортогональную проекцию вектора ( 1 , 5, - 3) на на¬правление вектора ( 1 , - 2 , 1).

Внимание!
При обнаружении неточностей или ошибок в описании книги "Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (автор )", просим Вас отправить сообщение на почту help@directmedia.ru. Благодарим!