Динамика подземных вод

(4.6а) при краевых условиях !!t.H(O,f) = 1; !).Н(rxJ,f) =О; l!t.H(x,O) =О <4.7> Отсюда след~ет, что безразмерная функция !).Н зависит от двух а~гументов: х 11, а t, имеющих размерность соответственно длины L и L : I:!H = f( х, а t). Как следует из Я-теоремы (см. раздел 1. 7), филь­трационный процесс в данном случае должен описываться функцио­нальной связью между двумя безразмерными комплексами, а это возможно лишь при условии, что !!!.Н= f(Л), гдеЛ-безразмерный комплекс, составленный из упомянутых аргументов. С учетом раз­мерности последних понятно, что структура величины Л определя-ется общим выражением (.Ax!Va"'f ) n, где А и n -константы. Этот простейший пример демонстрирует, кстати, полезность привлечения теории подобия к анализу и решению дифференциаль­ных уравнений, приводимых к безразмерному виду: тем самым вы­являются общая структура решения и минимальное число перемен­ных, полностью характеризующих изучаемый процесс. Для исследования поставленной краевой задачи ( 4.6)- ( 4. 7l.nе­дем теперь простейшую безразмерную комбинацию: Л = х/(2 Уа "'t) и попытаемся найти решение уравнения (4.6), зависящее только от Л: !).Н: !).Н(Л). С этой целью заменим производные по t и по х произ­водными по новой переменной Л : а d ал d а ( х ) dt (6. Н) = OJ. (/).Н) dl = (JJ. (6.11) dt 2 ..["(?7 = d 1 х 1 d = -7JJ. (6.11) 4t va* t =-2t лdl (!).Н); а d ал d а ( х ) д х (!).Н) = 7JJ. (6. Н) dx = 7JJ. (!).Н) dx 2 Va*t, = 1 d = 2Уа*Т d1 (!).Н); д7{!).н) =_i_ [_i_(!).н)J =-1 _ _i_ [d (!).н)]= дх2 дх дх 2v.2fдx Ldi =-1-d [ d (!).н)] _i_ =-1 _ _{! (!).н) 2v.2fdA di дх 4a*t dЛ2 · 208