Кратчайшие сети. Доступное введение в задачах и решениях

Читать фрагмент

книга

Кратчайшие сети. Доступное введение в задачах и решениях

Книга посвящена старой, но незаслуженно забытой задаче о том, как соединить данное множество пунктов на плоскости кратчайшей сетью прямолинейных отрезков. Этот важный вопрос интересен еще и тем, что даже в простейших случаях он приводит к любопытным и непростым геометрическим решениям. В общем случае эта задача трудна и является предметом серьезных современных исследований.В данном пособии будет подробно рассмотрен только случай трех или четырех точек на плоскости либо в пространстве.Изложение доступно даже школьникам и будет интересно всем любителям математики.

Форматы: PDF

Издательство: ДМК Пресс

Год: 2024

Место издания: Москва

ISBN: 978-5-93700-298-3

Страниц: 116

Артикул: 116686

Возрастная маркировка: 16+

Электронная книга

599 ₽

Купить и скачать

Содержание

Содержание книги "Кратчайшие сети. Доступное введение в задачах и решениях "

От издательства

Введение

Глава 1. Кратчайшие сети и задача Ферма–Торричелли

1.1. Случай трех точек

1.2. Точки Ферма–Торричелли для треугольника

1.3. Кратчайшие сети из двух отрезков и из трех отрезков

1.3.1. Окончание решения задачи 4: почти чистая геометрия

1.3.2. Завершение решения задачи 3: алгебра и немного тригонометрии

1.3.3. Еще одно неравенство для длины сети Ферма–Торричелли

1.3.4. Второе доказательство неравенства t ≤ P/√ 3

1.3.5. Еще о треуголках Наполеона

1.4. Точка Ферма–Торричелли и механика

1.5. Еще доказательства свойств точки Ферма–Торричелли и неравенства t ≤ P/√ 3

Глава 2. Задача Ферма–Торричелли для многих точек

2.1. Свойство выпуклости

2.2. Необходимое условие для точки Ферма–Торричелли

2.2.1. Задача Ферма–Торричелли для четырехугольников

2.3. А если точек много

2.3.1. Случай многоугольников

2.4. Невозможность построения точки Ферма–Торричелли циркулем и линейкой в общем случае

Глава 3. Точки Ферма–Торричелли в пространстве

3.1. Точки Ферма–Торричелли в тетраэдрах

3.1.1. Для какой четверки единичных векторов сумма равна нулю

3.1.2. Четверки векторов и равногранные тетраэдры

3.1.3. Когда точка Ферма–Торричелли лежит внутри тетраэдра

3.2. Точки Ферма–Торричелли в правильных многогранниках

Глава 4. Плоские сети Штейнера

4.1. Что такое сети, или деревья, Штейнера

4.1.1. Свойства деревьев Штейнера

4.2. Сети Штейнера для трех и четырех точек

4.2.1. Деревья Штейнера для параллелограммов

4.2.2. Деревья Штейнера для трапеций

Глава 5. Деревья Штейнера в пространстве

5.1. Сети Штейнера для правильного и полуправильного тетраэдров

5.2. Дерево Штейнера и минимальная стягивающая сеть без точек Штейнера

Глава 6. Минимальные стягивающие деревья в графах

6.1. Алгоритм Ярника–Прима

6.2. Алгоритм Краскала

6.3. Минимальные стягивающие деревья на плоскости

Литература

Предметный указатель

Отрывок из книги

Кратчайшие сети из двух отрезков и из трех отрезков  17и выведите из него неравенстваxy + xz + yz £ x2 + y2 + z2, 3(xy + xz + yz) £ (x + y + z)2.Задача 12. Из неравенств задачи 11 выведите неравенства(x + y + z)2 £ 3(x2 + y2 + z2)(частный случай неравенства между средним арифметическим и средним квадратичным) и3xyz(x + y + z) £ (xy + xz + yz)2(частный случай неравенств Мюрхеда).Докажем теперь неравенство t2 £ P2/3. Воспользуемся доказан-ным в разделе 1.2 равенством t = AA1, где A1 – вершина правиль-ного треугольника BCA1. Из задачи 10 следует, что ϕ = ∠BCA ³ π/3.Из формулы косинуса суммы следует, чтоcos ∠A1CA = cos(ϕ + π/3) = из теоремы косинусов для △ABC имеем из формулы для площади △ABC получаем, что sin ϕ = 2S/ab, значит,Применяя теорему косинусов к △A1CAC, имеемt2 = |AA1|2 = a2 + b2 - 2ab cos ∠A1CA = Далее понадобится интересное и сравнительно малоизвестное неравенство.Задача 13. Для площади треугольника со сторонами a, b, c спра-ведливо неравенство Хадвигера–Финслера

Внимание!
При обнаружении неточностей или ошибок в описании книги "Кратчайшие сети. Доступное введение в задачах и решениях (автор Сергей Гашков)", просим Вас отправить сообщение на почту help@directmedia.ru. Благодарим!