Векторный и тензорный анализ

- 45 -Если криволинейная система координат обладает тем свой-ством, что в любой точке пространства проходящие через нее три координатные линии взаимно перпендикулярны, то система координат называется ортогональной.Легко убедиться, что цилиндрическая и сферическая систе-мы принадлежат к классу ортогональных. Ясно, что различные векторные и тензорные соотношения имеют в ортогональных системах координат более простой вид, чем в произвольных (не-ортогональных) системах криволинейных координат. Поэтому полезно сформулировать условия, которым должны удовлетво-рять функции () () () 123123123, ,,, ,,, ,x q q qy q q qz q q q, чтобы координат-ная система была ортогональной.Как известно из аналитической геометрии, условие перпен-дикулярности двух прямых, образующих с осями координат углы , ,α β γи ', ', 'α β γ, сводится к равенству:cos cos ' cos cos ' cos cos ' 0ααββγγ++=.Поскольку косинусы углов между касательной к координатной линии iqс прямоугольными осями координат , ,x y z пропорцио-нальны соответствующим частным производным ,,,iiixyzqqq∂∂∂∂∂∂ то мы получим следующие условия взаимной перпендикулярно-сти координатных кривых iq и jq: 0.ijijijxxyyzzqqqqqq∂ ∂∂ ∂∂ ∂++=∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ( )4.4Чтобы криволинейная система координат 123, ,q q qбыла орто-гональной, ее координатные линии должны представлять собой три взаимно перпендикулярных семейства кривых и, следова-тельно, функции () () 123123, ,,, ,x q q qy q q qи () 123, ,z q q qдолжны удов-летворять трем условиям типа (4.4). В математической физике чаще всего пользуются ортогональными системами координат. Поэтому в дальнейшем, говоря о криволинейных координатах, будем всегда считать их ортогональными.Лекция 4