Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

14 Теорема 4.1. Сумма, разность и произведение функций ( ) и ( ), непрерыв-ных в точке , есть функция непрерывная в точке . Частное ( ) ( ) непрерывных в точке функций ( ) и ( ) непрерывно в точке , если ( ) . Если функция ( ) непрерывна в каждой точке области , то она называется непрерывной в области . Точки, в которых функция ( ) не является непре-рывной, называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва функции ( ) могут быть изолированными и могут заполнять целые линии. Так функция ( ) имеет единственную точку разрыва ( ); точки разрыва функции ( ) заполняют прямые и . Теорема 4.2. Если функция ( ) непрерывна в ограниченной области , то 1. функция ( ) ограничена в области ; 2. ( ) принимает в наибольшее и наименьшее значения. 5. Частные производные Пусть функция ( ) определена в некоторой области на сти . Одной из основных задач теории функций нескольких переменных явля-ется задача исследования данной функции. Метод сечений, с помощью которого в аналитической геометрии проводилось исследование формы поверхности по ее уравнению, нашел своеобразное отражение и в математическом анализе при решении указанной задачи. Возьмем внутреннюю точку ( ) из области и дадим приращение та-кое, чтобы точка ( ) (рис. 5.1). Величину ( ) ( ) назовем частным приращением функции по переменной . Составим отношение . Для данной точки ( ) это отношение является функцией от . Определение. Частной производной функции ( ) по переменной в точке ( ) называется предел (если он существует) отношения соответствую-щего частного приращения функции к вызвавшему его приращению незави-симой переменной , когда стремится к нулю.