Алгебра и теория чисел

20Глава 2. Закон взаимности Гаусса 1325164== -, 13256 108==, 13100 1816==. Т о г д а 131816288120=Ч -= -= -(), так что по критерию Эйлера снова име-ем, что 13 — неквадрат в ZZ/.41Лемма 2.2. Отображение f:, , ,Z® -{}1 1 0 такое, что для лю-бого целого x f xxp( ),=жизцшч является гомоморфизмом полугрупп Z и -{}1 1 0, , , рассматриваемых относительно обычного умноже-ния чисел.ДоказательствоИспользуя критерий Эйлера (лемма 2.1), имеем для любых целых x y f xyxypxyxyf x f yppp, : ( )( )( ) ( ),=жизцшч ===---121212 откуда следует справедливость доказываемого утверждения.Заметим, что леммой 2.2 часто приходится пользоваться при практических вычислениях символа Лежандра.Перед теоремой 2.1 — так называемым дополнением к закону взаимности Гаусса — докажем следующую любопытную лемму.Лемма 2.3 (лемма Гаусса). Пусть S — такое подмножество в Fp*, что FSSp*()= И - и SSЗ -= Ж(). Для любого s из S и любо-го a из Fp* определим e as( ) из равенства as e a ssa=( ) , где sSaО и e as( ), .О -{}1 1 Тогда имеет место формула ape ass Sжизцшч =ОХ( ).ДоказательствоПредположим сначала, что s sS s s,,,ўО№ ў но ssaa= ў. Тогда из равенств as e a ssa=( ) , ase a ssaў =ў( ) следует, что s e a s asa=-( ),1 ў =ў-se a s asa( )1, т. е. ss= - ў, что противоречит условию леммы. Этим доказано, что отображение ssa® — это биекция S на себя. Да-