Дифференциальная геометрия

455. ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯПОВЕРХНОСТЕЙПусть f: mU – гладкое отображение, U – открытое связ-ное множество в n, f(u) = t(f1(u), …, fm(u)), fi(u): ,Uu = t(u1, …, un).Д и ф ф е р е н ц и а л о м отображения f в точке рU назы-вается такое линейное отображение :,nmpd f чтоо dp f(v) == f(p)v для любого nv. Здесь f(p)=[fu1, ..., fun] – матрица Яко-би отображения f в точке p, 1, ...,iiituumufff– частная произ-водная f по ui.Отображение f называется п о в е р х н о с т ь ю, еслиrangf(p) =n, или, что то же самое, частные производные fu1, ..., funлинейно независимы.Кривая  1110000γ, ...,,,,,iiiinuf uuu uu, iuI  называ-а-ется ui-линией поверхности f в точке p = t(u10 , ..., un0 ). Частная про-изводная iufявляется касательным вектором к ui-линии в точке p.К а с а т е л ь н о е п р о с т р а н с т в о Tp f к поверхнос-ти f в точке рU – это множество всех касательных векторов β( )tкривых (t) = f((t)) для гладких кривых : IU, проходящих че-рез точку рU.Касательное пространство Tpf является подпространствомаффинного пространства ,m а частные производные fu1, ..., funявляются базисом соответствующего ему линейного подпростран-ства. Этот базис называется стандартным базисом касательно-го пространства Tpf. Касательный вектор β является образом каса-тельного вектора αпри действии дифференциала dpf. Кроме того,координаты βuf  касательного вектора β в стандартном базисее