Линейная алгебра, аналитическая геометрия, теория пределов

28 Произведением вектора a на действительное число  называется вектор, обозначаемый a, такой, что: 1) || = | | ∙ | |; 2) Векторы a и a сонаправлены при  > 0 и противоположно направлены при  < 0. Система векторов a1, …, an называется линейно зависимой, если существуют числа 1, …n такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля и 1 a1 + … + n an = 0. В противном случае система называется линейно независимой. Система {а1, а2} линейно зависима в том и только в том случае, когда векторы а1 и а2 коллинеарны, т.е. их направления совпадают или противоположны; Система {а1, а2, а3} линейно зависима в том и только в том случае, когда векторы а1, а2 и а3 компланарны, т. е. параллельны некоторой плоскости. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов е1 е2, е3 называется базисом в множестве всех геометрических векторов. Всякий геометрический вектор а может быть единственным образом представлен в виде a = X1 e1 + X2 e2 + X3 e3; (1) числа X1, Х2, Х3 называются координатами вектора а в базисе ℬ = {e1, e2, e3} Запись (1) называют также разложением вектора а по базису ℬ. Базис ℬ = {e1, e2, e3} называется прямоугольным, если векторы e1, e2 и e3 попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. В этом случае приняты обозначения е1 = i, e2 = j, e3 = k. (2) Проекцией вектора а на вектор е называется число npe a = |a| cos , где = ( , )  угол между векторами а и е (0 ≤  ≤ ). Координаты X, Y, Z вектора а в прямоугольном базисе совпадают с проекциями вектора а на базисные орты i, j, к соответственно, а длина вектора а равна | | = √++. Числа =( , ) =√++, =( , ) =√++, =,=√++, называются направляющими косинусами вектора а. Направляющие косинусы вектора совпадают с координатами (проекциями) его орта =| |. Запись a(X, Y, Z) означает, что координаты вектора а равны X, Y и Z, т.е. a