Ряды

Очевидно, что равенство; о ,8=1_ . + ( . ) • _ ( • ) · . ( • ) · _ ( · ) • + . . . следует понимать в том смысле, что остановившись на каком-ни­будь месте в последовательном выполнении указанных здесь ариф­метических действий, мы не получим результата, равного 0,8; чтобы получить этот результат, нужно выполнить бесконечное множество вычислений. Такое заключение может напугать кого-угодно, однако, мы не испугаемся и начнем производить вычисления, делая каждый раз передышку, после нахождения алгебраической суммы двух, трех, четырех и т. д. первых членов. Первый член равен 1. Он значительно отличается от числа 0,8, стоящего слева. Но сумма (алгебраическая) первого и второго чле-1 3 нов дает 1 — -ζ = -ζ = 0,75 — число, более близкое к 0,8. Далее, сумма первых трех членов 1 - T + (тУ = 1 - 0 , 2 5 + 0,0625 = 0,8125; сумма первых четырех членов 1 - J + (jf - (jj = 1 - 0,25 + 0,0625 - 0,015625 = 0,796875; сумма первых пяти: >-Η1Μτ)'+(1)'= = 1 — 0,25 + 0,0625 — 0,015625 + 0 , 0 0 3 9 0 6 2 5 = 0 , 8 0 0 7 8 1 2 5 и т. д. Как мы и ожидали, ни один из промежуточных результатов ( 1 ; 0,75; 0,8125; 0,796875; 0 , 8 0 0 7 8 1 2 5 ; . . . ) не равен 0,8; однако нам ясно теперь, что вычисляя алгебраическую сумму все большего и большего числа членов ряда >4+ω4ΐ)'+(ΐ)'-(ΐ)4ϊ7-···· мы будем получать числа, все более и более приближающиеся к числу . =„ ,8. ~г 4 30