Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости

собрание векторных линий поля вектора а было собранием сохра­няющихся линий, заключаются в выполнении следующих равенств: dax day da, Hf-0*" -dt-D*v ~Ш ®*W ах Ov а: (3) Прежде чем доказывать эту теорему, сделаем следующее заме­чание, разъясняющее ее формулировку: Если свойство сохраняемости выполняется для некоторого ин­тервала t и внутри известной области значений х, у, ζ, то для того же интервала и для той же области должны выполняться со­отношения (3); обратно, если для некоторого интервала t и неко­торой области значений (х,у, ζ) выполняются соотношения (3), то для этого же интервала и для этой же области выполняется сохра­няемость векторных линий. При доказательстве нашей теоремы мы, конечно, будем предпо­лагать, что свойство сохраняемости векторных линий и соотноше­ния (3) имеют место для конечного интервала значений t и внутри конечной области значений х, у, ζ, хотя и интервал и область мо­гут быть как угодно малы. Необходимость условий, указанных в теореме, вытекает из того, что при наличии равенства (2) должны быть соблюдены равенства: S11=O, S2 1 = O, Ss x = O, которые и являются несколько преобразованными условиями нашей теоремы. Для того, чтобы доказать достаточность условий нашей теоремы, необходимо установить, что из соотношений (3), справедливых для конечного интервала t и внутри конечной области для х, у, ζ, как следствия вытекают равенства: при η = 2, 3 . . . , причем равенства эти остаются выполненными для того же самого интервала t и в той же самой области х, у, ζ. Непосредственным вычислением легко обнаружить справедли­вость следующего равенства: df dDJ ôf Ida1 \ df Ida3 \ df Ida3 \ JV a = - J t— ä 7 {~dt "M~ ày-Ы Vdt " M -Условия, указанные в нашей теореме, дают следующие равенства: dau где λ есть некоторая функция t, χ, у, ζ. 30