Устойчивость упругих систем

УСТОЙЧИВЫЕ И НЕУСТОЙЧИВЫЕ ФОРМЫ ΡΛΒEOBECHil .'il Еще лучшие результаты мы получим, если представим уравне­ние изогнутой оси стержня в виде ряда: у=eJi (») 4- « A (X)jT-••jT а /я №> <ю) где Ct1,..., ая суть неопределенные коэфвцненты, функции же Д ( ж ) ,. . . , fn( x ) каждая в отдельности удовлетворяют граничным условиям. Внеся у и / из уравнения (10) в уравнение (5) я выполнив вычисления, мы получим P как функцию от парамет­ров ал, после чего остается только определить параметры Cii,... .^ant так, чтобы P было наименьшим. § 8 . Устойчивые и неустойчивые формы равновесия. Возь­мем опять основной случай Эйлера, т. е. стержень с обоими опертыми концами, Диференциальным уравнением изгиба будет: By"+ Py = Q. (1) Его интеграл равен у = C1 cosnx + OaS i n пх, ( 2 ) где P Граничное условие у нижнего конца: # = 0 при ж = O требует, чтобы O1 0; условие у верхнего конца: у = 0 при χ = I приводит к уравнению: CaJmnl = O. (3) Отсюда или C2 = O, т . е . ^ = O1 следовательно, форма равновесия прямолинейная, или sin ni = 0, т. е. nl = Hi 2π, . . . , Λπ, (4) где к есть целое. Таким образом критическая сила равна: Г „ ~ * £ , (5) и уравнением изогнутой оси стержня будет у = O2 SiH ' ψ ( 6 ) Полагая в равенстве (5) к=1, 2, 3 . . . , мы получаем первую, вторую и т. д. критическую силу. Если P < P1, то единственная форма равновесия стержня прямолинейная. Е с л и Р2> Р > Р1 ( то имеются две формы равновесия: прямолинейная и искривленная |с одной полуволной; если PS> P > P2, т 0 имеются три формы 'равновесия: прямолинейная, искривленная с одной полуволной и ^искривленная с двумя полуволнами (черт. 4) и т. д.