Основания геометрии

§ 4. Попытка доказать пятый постулат Евклида 29 I будет неограниченно р а с т и ; поэтому наступит момент, к о г д а h будет равно р а с с т о я н и ю между прямыми / и lv 6 э т о т момент точка С будет л е ж а т ь на прямой 1Х\ так как она л е ж и т на прямой /2, то прямые 1Х и 12 будут в ней пересекаться, что и т р е б о в а л о с ь д о к а з а т ь . Какое же неявное д о п у щ е н и е введено в этом рассуждении, п р и ­ведшем нас к 5-му п о с т у л а т у ? З д е с ь имеются два д о п у щ е н и я : 1) расстояние от одной стороны угла д о другой, по мере удаления от в е р ш и н ы , неограниченно воз­растает и 2) расстояние между двумя непересекающимися прямыми — величина ограниченная ( П р о к л д а ж е считает ее постоянной). П е р в о е д о п у щ е н и е может быть, доказано в абсолютной геометрии, и не оно является эквивалентным 5-му постулату. Н о во втором допущении, действительно, заключается вся сугь д е л а — из него и вытекает 5-й постулат. Э т о второе д о п у щ е н и е называется допущением Прокла: оно эквивалентно 5-му постулату. 2. Д о к а з а т е л ь с т в о , о с н о в а н н о е н а д о п у щ е н и и В а л л и с а. Перейдем к д р у г о м у доказательству 5-го постулата, предложен­ному Валлисом. П у с т ь / , и /2 — к а к а я - н и б у д ь пара прямых, а / — их секущая, образующая с ними односторонние углы сии р, взятые с той сто* роны от / , с к о т о р о й а + р < 2 < / (черт. 7). З а ­ставим теперь прямую /2 непрерывно перемещаться о т точки В к точке А так, чтобы сохранялся постоянный угол р с пря­мой I . Т е точки прямой /2, к о т о р ы е л е ж а т внутри угла а, д о л ж н ы будут по д о р о г е обязательно прой­ти через прямую / , , п о ­тому что в окончатель-Черт. 7. ном положении ( Г2) они лежат вне этого угла. П у с т ь Сх — одна из точек прямой /2, попавшая на / , ; мы получаем т р е у г о л ь н и к АВХСХ с углами а, \Ъ при основании ABV На стороне АВ, сходственной с АВи построим треугол...