Математика и физика в средней школе

ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ШКАЛ К РЕШЕНИЮ ТРЕУГОЛЬНИКА ПО. ТРЕМ БИССЕКТРИСАМ ВНУТРЕННИХ УГЛОВ Ч. ДОМБРОВСКИИ (Минск, БССР) С виду элементарная, задача решения пло­ского треугольника по данным трем длинам заключающихся внутри треугольника частей биссектрис его внутренних углов (в одном старом учебнике тригонометрии в XIX столе­тии — Nilwglowski, Warszawa — помешенная в числе элементарных задач) приводит к си­стеме уравнений четвертой степени, не „би­квадратных" и не возвратных (симметричных). Но с помощью построения функциональной шкалы од1:ой функции и с помощью логариф­мической шкалы соответствующего масштаба задача легко практически решается. Пусть будут wa, wb, wc упомянутые бис­сектрисы, причем wa делит пополам угол Л и т . д. Тогда, как известно, обозначая стороны треугольника через я , Ь, С , причем сторона а лежит против вершины угла А и т. д., а через р — полупериметр треугольника, т. е. „ а + Ь + с m Р ——~о » (') имеем: откуда:,, «£(2/7) Wa ~ ~ъ+У Ьср [р fl), 4 2Ьср(р — а) Ър*(р — а) (2) abc 0> + с)* • ( - 7 ) abc (2р—а)*а Р/ 1 - 2 £ *Р 1-7)7 s O - i ) " откуда еще: аЪС Поскольку ^ симметрично относительно всех трех сторон треугольника, то, обозначая abc ^ через х, £^ через.); и ^ через z, полу­чим: I g ( l — 2*) — l g x — 21g(l —x) — 2\gwa = = 1g(l — Ь)— ЧУ — 21g(l —y) — 2\gwb = = l g (1 - 2*)—Ig z - 2 1 g ( 1 — z)—2\gwc; (4) иначе говоря, разности между значениями функции № = lg 0 - 20 - l g t - 2lg (1 - 0 . (5) 30 соответствующими трем сторонам треуго.и ника, т. е. значениями H*h / 0 ' ) . / ( * ) . будут равны разностям между значениям функции 21gH, (( относящимися к соответствующим бнссектр! сам, т. е. значениями 21g*ffl, 21gw&, 2lgwc. Функция 21g ы, как известно, монотонна Но и f(t) тоже монотонная. Ибо, если м b+c . с + а обозначим —^— через ft, —^— через /«, а + Ъ — — через и, то имеем: ft+1=^=1 ; т + 1 ==— ; | а х 1 у « + 1 = 7 ! -2 ,е (1- ^ Ь)= ,е г Г 1+1е <А + 1)-= - 2 l gF|1 = I g ( f t - l)-2rgf t 4.21g( f tT- l ...